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Bonjour monsieur Tsaloum,

  On commence par appliquer la formule des multiplicateurs de Lagrange . On calcule
les dérivées partielles :
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=ay\exp(ay)[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}=ax\exp(ay)[/tex]

Notant [tex]g(x,y)=x^3+y^3+x+y-4[/tex], on a également
[tex]\frac{\partial g}{\partial x}=3x^2+1[/tex] et [tex]\frac{\partial g}{\partial y}=3y^2+1[/tex]

En un point de [tex]g(x,y)=0[/tex] où f atteint un extrémum, les différentielles sont proportionnelles. On en déduit que
[tex]\frac{ay\exp(axy)}{3x^2+1}=\frac{ax\exp(axy)}{3y^2+1}[/tex]
ce qui entraîne [tex]3y^3+y=3x^3+x[/tex]

Maintenant, la fonction [tex]t\mapsto 3t^3+t[/tex] est strictement croissante, donc injective, et on en déduit
qu'en un point (x,y) où on a un extrémum lié, alors x=y.

Il vient [tex]x^3+x-2=0[/tex], dont la seule racine réelle est x=1.

Il faut maintenant étudier ce qui se passe en (1,1). Y-a-t-il un extrémum? Est-ce un minimum? Un maximum?

En fait, il suffit de remarquer que les points de [tex]x^3+y^3+x+y-4=0[/tex] pour lesquels |x| est grand, alors
|y| est grand lui aussi, mais x et y sont de signe opposés. Autrement dit,
[tex]\lim_{\|(x,y)\|\to +\infty, (x,y)\in G}f(x,y)=0[/tex]
où [tex]G=\{(x,y);\ g(x,y)=0\}[/tex]

Ainsi, par compacité, la fonction admet forcément un maximum qui est atteint en (1,1).

Fred.