Forum de mathématiques - Bibm@th.net

celine

Invité

probabilité

Bonsoir,
j'ai un exercice de probabilité que je n'arrive pas a résoudre;
enfin je n'arrive pas a rédiger ,

voici l'énoncé:

Soient A et B deux ensembles .Montrer que A= ensemble vide SSI B= A triangle B
alors je sais que [tex]A \Delta  B =  (A\cap \bar{B})\cup \left(\bar{A}\cap B\right)[/tex]  mais c'est ici que je coince
merci

[Edit : j'ai repris l'équation - Fred]

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : probabilité

Bonsoir,

  Ce n'est pas vraiment un exercice de probabilités, c'est plutôt un exercice de théorie des ensembles, même si je comprends pourquoi on te le pose dans un cours sur les probabilités.

Voici comment tu peux procéder.
1. Il y a d'abord un sens qui est facile : si [tex]A=\varnothing[/tex], alors par définition de la différence
symétrique (celle que tu as donné), on a bien [tex]A\Delta B=B[/tex] car [tex]A=\varnothing[/tex] et [tex]\bar A\cap B=B[/tex].

2. Voici maintenant le sens plus difficile, si [tex]A\Delta B=B[/tex], il faut prouver que [tex]A=\varnothing[/tex].
On va découper la preuve en deux parties :
   a) on va prouver que [tex]A\cap B=\varnothing[/tex]
En effet, prenons [tex]x\in  B[/tex]. Alors, en particulier [tex]x\in A\Delta B[/tex], et donc [tex]x\in A\cap\bar B[/tex] ou [tex]x\in \bar A\cap B[/tex]. La première éventualité est impossible (car [tex]x\in B[/tex]) et donc on a [tex]x\in\bar A\cap B[/tex]. Ainsi, tout élément de B est aussi dans [tex]\bar A[/tex], et donc [tex]A\cap B=\varnothing[/tex]

   b) on va aussi prouver que [tex]A\cap \bar B=\varnothing[/tex]. En effet, imaginons qu'on puisse trouve un élément dans [tex]A\cap\bar B[/tex]. Alors cet élément serait aussi dans [tex]A\Delta B=B[/tex], ce qui est impossible puisqu'il serait simultanément dans [tex]B[/tex] et dans [tex]\bar B[/tex].

Maintenant, a) et b) mis ensemble prouvent facilement que [tex]A=\varnothing[/tex]

Fred.

celine

Invité

Re : probabilité

Merci encore fred
j'ai peut-etre trouver une autre solution
Peut-tu y jeter un coup d'oeil

donc je suis partie de  [tex]\left(A\cap \bar{B}\right)\cup \left(\bar{A}\cap B\right)[/tex] .

et j'ai fait une supposition Si  [tex]A\cup B=B[/tex]  alors A= ensemble vide

et donc j'ai remplacer donc on a  [tex]A\cup B=\left(A\cup \left(A\cap \bar{B}\right)\cup \left(B\cap \bar{A}\right)\right)[/tex]
en developant on a :  [tex]\left(A\cap \bar{B}\right)UB[/tex]  donc cela entraine AUB

voila
merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : probabilité

Salut céline,

je réponds à la place de Fred : c'est une horreur ce que tu as écrit ...

[tex]A \cup B =B \Rightarrow A \subset B[/tex]

c'est tout ce qu'on peut dire !

celine

Invité

Re : probabilité

ah bah comme sa c'est clair^^ mdr :
bon je vais prendre alors la réponse de Fred : j'ai cru que en partant d'une supposition on aurais pas retrouver le résultat