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Bonjour,

  J'imagine que tu es dans une Math Sup de bon niveau,
car c'est le 2ème exo en une semaine pas facile avec lequel tu viens.

Voici un embryon de méthode géométrique qui devrait donner le résultat :

Tu peux voir dans [tex]u^2+uv+v^2[/tex] le début de l'équation d'une conique, que tu as étudié j'imagine en début d'année.
Tu peux la réduire classiquement, en faisant un changement de repère d'angle [tex]\pi/4[/tex] ici.
Ainsi, tu poses
[tex]u=\frac{\sqrt 2}2X-\frac{\sqrt 2}2Y[/tex] et [tex]v=\frac{\sqrt 2}2X+\frac{\sqrt 2}2Y[/tex].
De sorte que
[tex]u+v=\sqrt 2 X[/tex]
et [tex]u^2+uv+v^2=\frac 32X^2+\frac 12 Y^2[/tex]

Tu cherches donc à trouver la plus grande et la plus petite valeur de [tex]\sqrt 2 X[/tex]
quand on est entre les deux ellipses
[tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=1[/tex] et [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=4[/tex],
mais en étant dans la partie du plan comprise entre les angles [tex]-\pi/4[/tex] et
[tex]\pi/4[/tex]  (on a tourné le repère, quand même...).

Avec un dessin, tu te convaincras sans peine qu'on atteint le maximum
(la borne sup) quand on est sur l'ellipse [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=4[/tex]
et que Y=0. On a alors [tex]X=2\sqrt 2/\sqrt 3[/tex] et la borne sup fait [tex]4/\sqrt 3[/tex]
(tiens, ce n'est pas le résultat que tu as donné).
Le minimum (la borne inf), est atteinte sur l'ellipse [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=1[/tex]
et l'est pour l'angle [tex]\pi/4[/tex]. On a alors X=Y, et
[tex]X=1/\sqrt 2[/tex] soit une borne inf qui fait bien 1.

A te lire (car c'est tout de même assez compliqué...)

Fred.