Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Re : La tortue et l'escargot

Bonjour,

Considérant la série harmonique à l'indice N (H = 1 + 1/2 + 1/3 +.........1/N) qui est de l'ordre de Ln(N) pour N grand, il me semble que la solution est de l'ordre de lnN = 7.5 , ce qui est bien conforme à l'ordre de grandeur dans le post #2
Voulez-vous la formule exacte de l'écart entre la tortue et l'escargot au temps 2N ?

ce problème ressemble à u problème de cosmologie : Un vaisseau qui avance dans l'univers en expansion arrivera-t-il dans la prochaine galaxie ? !

Salut,

pourtant, on démontre que cette série harmonique est divergente ... C'est encore un truc de physicien ? :-)

Dillon

Invité

Re : La tortue et l'escargot

Bonne nuit,

Oui, elle diverge. C'est même implicite dans ce que Totomm a écrit et que tu cites. C'est justement ça le truc qui fait que ça marche. La progression de l'escargot par rapport à l'élastique peut être décrite comme une série harmonique. Donc elle peut atteindre la valeur 1, et ainsi rattraper la tortue.
Au fait, c'est quoi un physicien ? Quelqu'un qui n'arrive pas à imaginer un nombre de billes négatif ? :-D
La solution est typiquement un truc de mathématicien, pas de physicien

jpp

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Re : La tortue et l'escargot

bonjour.

            c'est vrai que ca ne parait pas évident , déjà du fait que --- comme nous le disait Nérosson ----

            l'écart entre T  et  E  augmente.  Oui , mais si on prend un repère courrant avec E comme
             nouvelle origine la tortue déccélère par rapport à E . 

            Maintenant de par le fait que l'élastique  est homogène ,  si l'escargot fait une marque au feutre
            sur tous ses points d'arret et si l'on prend la longueur AT ---- meme si elle varie --- comme unité
            alors tout le passé de l'escargot est figé . c-a-d  que les rapports 1 , 1/2 , 1/3 .... 1/j  restent
            constants .  et lorsque le rapport AE/AT  =  U(j) aura atteint la valeur  (7.5-1)/7.5 = 6.5/7.5
            alors la distance ET va se mettre à diminuer. Et là , l'accélération de la tortue va augmenter
             mais en changeant de signe.

             Mais comme disait Yoshi , en utilisant sois-meme une élastique et un marqueur et en partant non
            pas avec 7.5 comme rapport , mais 0.5 par exemple , on comprend mieux ce qui se passe.

             Le pire après pour l'escargot , c'est le retour vers A  , puis indéfiniment la navette. car ca marche
              toujours.  Mais là , longue vie à l'escargot.

yoshi

Modo Ferox

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Re : La tortue et l'escargot

Re,

Précision sinon le message de jpp va être obscur:
J'avais répondu à nerosson que j'étais d'accord avec lui, ayant fait un essai avec un élastique sur lequel j'avais déposé une marque au feutre.
jpp ayant répondu à nerosson, qu'effectivement il était dans le vrai et sur la bonne voie, mon message n'avait plus lieu d'être et je l'avais supprimé dès que que j'ai pris connaissance  de la réponse de jpp.

@+

jpp

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Re : La tortue et l'escargot

re.

      La série diverge en effet  , si on groupe les termes comme ceci:

           U(n) =  1 +( 1/2 ) + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)  + ...    chaque groupe est composé de
                                                                 1
             2^n termes dont le minorant est ----------   . donc chaque groupe a une somme  supérieure               
                                                              2^(n+1)                                                                                     

             à 1/2 .    mais il reste quand meme le calcul de la durée du parcours.

totomm

Invité

Re : La tortue et l'escargot

Bonjour,

Pour bien voir les choses : Posons t = 2N en minutes

Pour N = 1 ; 2 ; 3…l'écart entre la tortue et l'escargot s'établit à 6,5 ; 12 ; 17 respectivement comme établi par nerosson post #7 (et sûrement aussi par Dillon qui donne un résultat post #2…)
La formule est [tex] E_N = E_{N-1}\frac{N}{N-1}-1  avec  E_1= 6,5 [/tex]

Considérons la série harmonique [tex] H_N = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}[/tex] + …..+ [tex]\frac{1}{N}[/tex]

On peut établir (assez facilement) que [tex] E_N= N(E_1+1-H_N) [/tex]  ou le vérifier par récurrence.

[tex]H_N [/tex] est divergente (mais très lentement) , proche de Ln(N) pour N très grand (il faut ajouter la constante d'Euler [tex]\gamma[/tex] = 0,57721..…à Ln(N)
Il est donc inévitable que [tex] (E_1+1-H_N) [/tex] passe par zéro
L'escargot rattrape la tortue pour L(N) = 7,5-0,57721 soit à peu près pour [tex] N = e^{6,923} [/tex] (environ 1015)

En assimilant [tex]H_N [/tex] = Ln(N)+0,57721, notons que le maximum de l'écart entre la tortue et l'escargot
est pour [tex] N = e^{5,923} [/tex] (environ 373). Sauf erreur.

N'opposons pas mathématiciens et physiciens, Merci.

totomm

Invité

Re : La tortue et l'escargot

Re, pour convaincre les incrédules…

N ( = t/2)    Ecart entre la tortue et l'escargot (en 5 minutes sous Excel)
1    6,5000
2    12,0000
3    17,0000
4    21,6667

371    372,9422
372    372,9475
373    372,9500
374    372,9499
375    372,9471

1012    2,6378
1013    1,6404
1014    0,6420
1015    -0,3574
1016    -1,3577
1017    -2,3591

freddy

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Re : La tortue et l'escargot

Salut,

beau sujet, sympa à souhait !

Ce que j'aime bien est la "morale de cette histoire" : ne pas s'arrêter à une première impression, mais pousser le raisonnement jusqu'au bout, même si le début semble contre intuitif.

Je suis certain que nerosson aurait trouvé en poussant plus avant sa réflexion.

Pour finir sur la constante d'Euler, voir le lien Bibmath :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ercst.html

Perso, j'ai toujours eu du mal avec

En assimilant [tex] H_N= ln(N)+0,57721[/tex]

mais c'est secondaire.

Bb

jpp

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Re : La tortue et l'escargot

re.

           donc pour résumer ,   T = 2.e^(7.5 - 0.57721566) = 2030 min soit 33 h 50 min.

Dernière modification par jpp (02-04-2012 05:59:38)

totomm

Invité

Re : La tortue et l'escargot

Re-bonjour,

Vraiment intéressant ce sujet, Car jpp a fait une suggestion très astucieuse et très "mathématique" au post #28 :

    "si on prend un repère courant avec E comme nouvelle origine…"

Essayez ! arrivez-vous au même résultat ?

(avec ce changement de repère, inutile de se lancer dans des "transformations de Lorentz"…:)

freddy

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Re : La tortue et l'escargot

Bonsoir,

voici le schéma que je comprends.

Soit D(n) la distance parcourue par la tortue au temps n. Sa vitesse est constante, soit 7,5 m / unité de temps

Soit d(n) celle parcourue par l'escargot au même temps. La vitesse de l'escargot est égale à 1 m/ unité de temps + une rallonge de la distance déjà parcourue de telle sorte que

[tex]d(n)=d(n-1)\times \left(1+\frac1n\right)+1[/tex].

On montre alors qu'au bout d'un certain temps, le gastéropode dépasse le reptile encarapaçonné.

Dernière modification par freddy (07-02-2011 18:33:58)