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debmaths

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Développement limité

Bonjour,

D'abord mes meilleurs voeux pour 2011 et merci pour l'aide que vous nous apportez.

Je ne comprends pas, impossible d'insérer une équation par Latex dans ma question !!!

Dans mes cours on me jette brutalement au visage:

c compris entre 0 et x
ln(1+x) = x + x^2/2 * 1 / (1+c)^2

Pouvez-vous avoir l'amabilité de m'expliquer d'où vient le facteur 1/(1+c)^2. ? J'ai du sauter un chapitre ou je n'ai pas su interpréter le développement de Taylor.

S'il y a une généralisation sur les développements merci de me le signaler.

Salutations

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[EDIT]@yoshi

Je ne comprends pas, impossible d'insérer une équation par Latex dans ma question !!!

Et pourtant si, ça marche :
[tex]\ln(1+x) = x + \frac{x^2}{2}\times \frac{1 }{ (1+c)^2}[/tex]
Relis : Code LaTeX ou Edite ton message et regarde...

Fred

Administrateur

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Re : Développement limité

Bonjour,

  Ton prof utilise la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 pour la fonction [tex]x\mapsto \ln(1+x)[/tex],
entre 0 et x.
Plus d'infos ici

Fred.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Développement limité

Bonjour,

[tex] \bullet[/tex] Pour debmath : je crois qu'une erreur est dans ton énoncé : un signe [tex]-[/tex] pour le dernier terme (chose confirmée par l'inégalité [tex] \ln(1+x)  \leq  x[/tex]  pour  tout [tex] x> -1 [/tex]  ... ).
La  formule de Taylor-Lagrange :
Soit [tex]n[/tex] un nombre  entier  naturel, [tex]a ~\text{et} ~b[/tex] deux nombres  réels tel  que [tex]a<b[/tex]. Soit   [tex]f[/tex] une  fonction [tex]n[/tex] fois dérivable sur le  segment [tex][a,b][/tex]   et    [tex]n+1[/tex] fois dérivable sur l'intervalle ouvert  [tex]]a,b[[/tex]. Alors :
[tex]\large \bf {\displaystyle (\exists c\in]a,b[)   \quad   f(b)=\sum_{k=0}^n  \frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) + \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c).} }[/tex]
Lorsque [tex]n=0[/tex], les hypothèses sont : [tex]f[/tex]  continue  sur [tex][a,b] [/tex] et une fois dérivable sur [tex]]a,b[[/tex] et là, on retrouve l'égalité des accroissements finis.

[tex] \bullet[/tex] Pour Fred : j'ai  répondu  avant de voir ta  réponse. Merci  pour  le  lien ( je tâcherai donc à avoir  l'habitude de gagner du temps en  cherchant d'abord dans les supports de cours de bibm@th ...)

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (02-01-2011 15:04:08)

debmaths

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Re : Développement limité

Merci. Je n'avais employé , jusqu'à présent, la formule de Taylor que lorsque a = 0 c'est-à-dire de McLauren si je ne m'abuse.

Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un segment [a,b], (n+1) fois dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[, alors il existe un réel c de ]a,b[
ln(1+x)=x- x^2 /2 * 1 / (1+c)^2

J'ai interprété mais je suis un peu dépassé dans ce cas. Comment expliquer que x = b-a ?

Quant à insérer une équation je n'y arrive toujours pas alors que l'avais déjà fait. Il faut dire que j'ai changé de système, je suis passé de windows XP à Windows 7. Peut-être ceci explique cela !!!

Salutations

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Développement limité

Bonsoir

Ce  n'est  pas aussi  compliqué  que  ça

Pour  fiixer les idées,  supposons  que [tex]x>0 .[/tex]

Tu  prends :   [tex]a=0[/tex]    et  [tex]b=x[/tex]   et  [tex]f(t)= \ln(1+t)[/tex]   pour  tout  [tex]t \in [0,x][/tex]

En  appliquant Taylor-Lagrange  (qui est  en  l'occurence  Macc-Laurin)  Tu  as la  formule, surtout  si  par  un  petit   calcul  tu  remarques  que  [tex]f'(t) = \frac{1}{1+t} ~\text{et}~f''(t)=- \frac{1}{(1+t)^2}[/tex]   pour  tout   [tex]t  \in ]0,x[[/tex]  ....

N'hésite  pas d'insister  si  tu  ne  comprends  pas  toujours ... on  doit  t'aider  à  sortir de cette  situation, quitte  à  faire  meiux  par  la  suite  :-)

z88

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Re : Développement limité

bonjour

pourquoi on'a pas ln(1+x) = x + x^2/2 *(- 1 / (1+c)^2)

sachant que f''(c)=-1/(1+c)²!!!!!???????

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Développement limité

Bonjour:

oui,  c'est  une  erreur de   signe qui  existe  dans l'énoncé..
j'ai  déjà  parlé  de  ça  dans ma  premiére  réponse   en  haut ...

z88

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Re : Développement limité

bonsoir

Est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exercice:

Soit f la fonction définie de R vers R tel que f(x)=(3X²+6x-10)ln(4+x/x+2)

- Donner le développement limité à l'ordre 3en 0 de la fonction g(x)=ln(1+4x/1+2x)

-En déduire que f admet un développement limité à l'infini de la forme f(x)=ax+b+c/x² +0(1/x²) et calculer a,b,c

(juste la 2ème question)

Dernière modification par z88 (03-01-2011 22:00:39)

z88

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Re : Développement limité

SVP

c urgent