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#1 25-12-2010 16:18:36
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
intersection de compacte
Bonjour,
j'aimerai savoir si l'intersection de compacte est encore un compacte en supposant que l'intersection est non vide. L'idée serait de dire soit une suite d'élément de l'intersection alors c'est une suite pour tous les compactes. Je choisit un compacte de l'intersection en particulier qui me donne une sous suite convergente dans ce compacte.Comme les compactes sont des fermés et que ma sous suite est une sous suites d'éléments, convergente de chaque compacte elle converge dans chaque compacte. La limite de la sous suite appartient donc bien à l'intersection.
Merci d'avance.
Bonne fêtes.
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#4 25-12-2010 19:39:13
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : intersection de compacte
Bonjour:
Normalement, si vous faites un cours complet sur la compacité, on donne la proposition
Proposition
Soit [tex]X[/tex] un espace topologique séparé. et [tex]K[/tex] un compact de [tex]X.[/tex]
Alors :
1) [tex]K[/tex] est une partie fermée de [tex]X[/tex]
2) Toute partie [tex]F[/tex] fermée de [tex]K[/tex] est compacte
Dans ta question , si [tex]K_1[/tex] et [tex]K_2[/tex] sont les compacts en question, tu prends [tex]K=K_1[/tex] et [tex]F= K_1 \cap K_2[/tex]
Remarque : même si [tex]K_1 \cap K_2 = \emptyset[/tex] le résultat subsiste.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (25-12-2010 19:57:44)
#5 25-12-2010 20:42:24
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : intersection de compacte
Cher ami,
la définition que je donne est encore plus générale (voire générique) que la tienne : elle ne contient pas la notion de séparation.
La compacité d'un sous ensemble A de l'ensemble X (munie d'ouverts vérifiant les 3 axiomes pour qu'on puisse parler d'un espace topologique) renvoie à une notion de recouvrement par nombre fini d'ouvert contenant A.
Ensuite, selon X et sa topologie, on en déduit le théorème de Heine-Borel relativement à la compacité de tout ensemble fermé et borné de [tex]{\mathcal{R}}^{n}[/tex] n > 0 par exemple.
C'est comme cela que j'ai pu répondre sans hésiter à notre ami.
Bonne soirée.
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#6 26-12-2010 00:09:32
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : intersection de compacte
Bonsoir:
Oui, Freddy, je t'ai bien compris.
Tu fait allusion à la propriété de Borel-Lebesgues:
Soit [tex]X[/tex] un espace topologique. On dit que [tex]X[/tex] vérifie la propriété de Borel-Lebesgues si :
(BL) Pour tout ensemble I et pour toute famille [tex](O_i)_{ i \in I}[/tex] d'ouverts de [tex]X[/tex] tel que [tex]X = \bigcup_{ i\in I} O_i[/tex] , il existe une partie finie [tex]J[/tex] de [tex]I[/tex] tel que : [tex]X = \bigcup_{ i\in J}O_i[/tex]
on exprime ça comme suit : de tout recouvrement de [tex]X[/tex] par une famille d'ouverts, on peut extraire un recouvremet fini de [tex]X.[/tex]
Bien sûr , il ne faut pas confondre ça avec le simple fait que [tex]X[/tex] peut être recouvert par un nombre fini d'ouverts (pour tout espace topologique [tex]X[/tex] on a [tex]X= X \cup X[/tex] )
Je vois , que tu préféres la definition : un espace topologique est compact si et seulement s'il vérifi (BL)
Or pour des auteurs (modernes au moins) ils appelent ça : quasi compacité
[tex]X[/tex] quasi compact [tex]\iff X[/tex] verifie (BL)
Tu peux par exemple consulter :
N.Bourbaki TG I.59 , TOPOLOGIE GENERALE chapitres 1 à 4
Pour les mêmes auteurs :
[tex]X[/tex] est compact [tex]\iff X[/tex] est séparé et [tex]X[/tex] est quasi compact.
Personnelement on m'a enseigné à la faculté la compacité = (BL) + séparé
mais je me rappelle que mon professeur de sup ( en 1983/1984 ) nous avait donné la définition que tu preéféres (compact = (BL) ) ...
Bref je suppose qu'actuellement la majorité des professeurs adaptent la définition avec la condition "séparé" et il doit y avoir des raisons qui justifient cela ....
PS : Tu remarqueras que la définition de la quasi compacité donnée par N.Bourbaki est la suivante :
(C) Tout filtre sur [tex]X[/tex] admet au moins un point adhérent.
Mais ,s i tu poursuit la lecture , tu verra que [tex](C) \iff (C') \iff (C'') \iff (C''')[/tex]
où
(C') : Tout ultrafiltre de [tex]X[/tex] est convergent.
(C'') : De toute famille de fermés d'intersection vide on peut extraire une sous-famille finie d'intersection vide.
(C''') : (BL) : l'axiome de Borel-Lebesgues.
Cordialement.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (26-12-2010 01:32:57)
#7 27-12-2010 10:45:26
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : intersection de compacte
Bonjour,
si Fred était dans les parages, j'avoue que j'aimerais bien qu'il me fasse un brin d'explication, c'est en effet un point très intéressant que tu soulèves.
Merci à lui par avance.
Freddy
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#8 27-12-2010 18:43:43
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : intersection de compacte
Je traine, je traine....
En réalité, on ne parle quasiment plus jamais de topologie générale à l'université (parfois en M1, et encore...).
Les espaces que l'on considère sont des espaces métriques, qui sont toujours séparés.
Mais effectivement, sur le fond, Mohamed a raison. Un espace est compact s'il est séparé et possède la propriété de Borel-Lebesgue.
A+
Fred.
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#9 27-12-2010 22:45:27
- tibo
- Membre expert
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- Messages : 1 097
Re : intersection de compacte
Yop,
En pleine révision pour les examens, je confirme que:
quasi-compact = BL
compact = BL + séparé
Cependant, dans un espace non séparé, on ne peut pas faire grand chose (on a meme plus l'unicité de la limite)
donc, dans la plupart des exo, les espaces considérés sont séparés
donc quand on veut montrer la compacité, on omet de préciser que l'espace est séparé.
Par contre, on appelle pas ça "propriété de Borel-Lesbesgue", juste par définition d'un quasi-compact, de tout recouvrement d'ouvert, on peut en extraire un recouvrement fini.
Dernière modification par tibo (27-12-2010 22:46:57)
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#11 14-11-2013 19:40:59
- khoder mazloum
- Invité
Re : intersection de compacte
L'intersection des compacts est compact si l'espace est separe donne une contre exemple que si l'espace n'est pas separer l'inter. Des compacts n'est pas compact ??????
#12 24-10-2023 14:56:41
- Adam7.
- Invité
Re : intersection de compacte
Di K compacte, L compacte est-ce-que K inter L est un compacte ?
#13 24-10-2023 16:21:04
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : intersection de compacte
Bonsoir,
Sauf erreur, toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.
Dès lors une intersection quelconque de compacts est un fermé dans un compact, donc compact.
A.
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