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mathieu64

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intersection de compacte

Bonjour,
j'aimerai savoir si l'intersection de compacte est encore un compacte en supposant que l'intersection est non vide. L'idée serait de dire soit une suite d'élément de l'intersection alors c'est une suite pour tous les compactes. Je choisit un compacte de l'intersection en particulier qui me donne une sous suite convergente dans ce compacte.Comme les compactes sont des fermés et que ma sous suite est une sous suites d'éléments, convergente de chaque compacte elle converge dans chaque compacte. La limite de la sous suite appartient donc bien à l'intersection.

Merci d'avance.
Bonne fêtes.

freddy

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Re : intersection de compacte

Salut,

j'ai bien peur que oui ... en prenant une définition plus large d'un compact : réunion finie d'ouverts le contenant.

mathieu64

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Re : intersection de compacte

merci.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : intersection de compacte

Bonjour:

Normalement, si vous faites un cours complet sur la compacité, on donne la proposition

Proposition
Soit [tex]X[/tex]   un  espace topologique séparé. et [tex]K[/tex]  un  compact de [tex]X.[/tex]
Alors :
1)  [tex]K[/tex]   est  une  partie  fermée de   [tex]X[/tex]
2) Toute  partie   [tex]F[/tex]  fermée de   [tex]K[/tex]  est  compacte

Dans ta question , si   [tex]K_1[/tex]  et  [tex]K_2[/tex]  sont  les  compacts  en  question,  tu  prends  [tex]K=K_1[/tex]    et  [tex]F= K_1 \cap K_2[/tex]

Remarque : même  si   [tex]K_1  \cap  K_2 = \emptyset[/tex] le  résultat  subsiste.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (25-12-2010 19:57:44)

freddy

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Re : intersection de compacte

Cher ami,

la définition que je donne est encore plus générale (voire générique) que la tienne : elle ne contient pas la notion de séparation.

La compacité d'un sous ensemble A de l'ensemble X (munie d'ouverts vérifiant les 3 axiomes pour qu'on puisse parler d'un espace topologique) renvoie à une notion de recouvrement par nombre fini d'ouvert contenant A.

Ensuite, selon X et sa topologie, on en déduit le théorème de Heine-Borel relativement à la compacité de tout ensemble fermé et borné de  [tex]{\mathcal{R}}^{n}[/tex] n > 0 par exemple.

C'est comme cela que j'ai pu répondre sans hésiter à notre ami.

Bonne soirée.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : intersection de compacte

Bonsoir:

Oui, Freddy, je t'ai bien compris.
Tu  fait allusion à la  propriété de Borel-Lebesgues:

Soit  [tex]X[/tex]  un espace  topologique. On dit  que  [tex]X[/tex]  vérifie  la  propriété  de  Borel-Lebesgues si :

(BL) Pour  tout  ensemble  I et  pour toute famille [tex](O_i)_{ i \in I}[/tex] d'ouverts de [tex]X[/tex]  tel  que [tex]X =  \bigcup_{ i\in I} O_i[/tex] , il  existe  une  partie  finie [tex]J[/tex]  de  [tex]I[/tex]  tel  que  : [tex]X =  \bigcup_{ i\in J}O_i[/tex]

on  exprime  ça  comme  suit : de tout  recouvrement de [tex]X[/tex] par une  famille d'ouverts, on  peut  extraire un recouvremet fini de [tex]X.[/tex]

Bien sûr , il  ne  faut  pas  confondre  ça  avec  le  simple  fait  que  [tex]X[/tex] peut  être  recouvert  par  un  nombre  fini  d'ouverts (pour  tout  espace  topologique [tex]X[/tex]   on  a  [tex]X=  X \cup X[/tex]   )

Je vois , que tu préféres la definition : un  espace  topologique  est  compact si  et  seulement  s'il  vérifi  (BL)

Or  pour  des  auteurs  (modernes au  moins)  ils appelent  ça :  quasi  compacité

[tex]X[/tex] quasi  compact  [tex]\iff   X[/tex] verifie  (BL)

Tu  peux  par  exemple  consulter :
N.Bourbaki  TG I.59 , TOPOLOGIE GENERALE chapitres 1 à 4

Pour  les  mêmes   auteurs  :

[tex]X[/tex]  est  compact   [tex]\iff  X[/tex] est  séparé   et  [tex]X[/tex]  est  quasi compact.

Personnelement on  m'a  enseigné à  la  faculté  la  compacité = (BL) + séparé
mais  je  me  rappelle que  mon  professeur  de  sup  ( en 1983/1984 ) nous  avait donné  la  définition  que  tu  preéféres (compact =  (BL)  ) ...

Bref je  suppose  qu'actuellement  la  majorité  des professeurs adaptent  la  définition  avec  la  condition  "séparé" et  il  doit  y  avoir  des  raisons  qui  justifient  cela  ....

PS : Tu remarqueras que la définition de la quasi compacité donnée  par N.Bourbaki est la suivante :
(C) Tout  filtre  sur   [tex]X[/tex]  admet  au  moins  un  point  adhérent.
Mais ,s i  tu  poursuit la  lecture ,  tu  verra  que  [tex](C)   \iff  (C')  \iff  (C'')  \iff  (C''')[/tex]
où
(C')  : Tout  ultrafiltre  de  [tex]X[/tex]   est  convergent.
(C'') : De  toute  famille  de  fermés  d'intersection  vide  on  peut  extraire  une  sous-famille finie d'intersection vide.
(C''') : (BL) : l'axiome  de  Borel-Lebesgues.

Cordialement.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (26-12-2010 01:32:57)

freddy

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Re : intersection de compacte

Bonjour,

si Fred était dans les parages, j'avoue que j'aimerais bien qu'il me fasse un brin d'explication, c'est en effet un point très intéressant que tu soulèves.

Merci à lui par avance.

Freddy

Fred

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Re : intersection de compacte

Je traine, je traine....
En réalité, on ne parle quasiment plus jamais de topologie générale à l'université (parfois en M1, et encore...).
Les espaces que l'on considère sont des espaces métriques, qui sont toujours séparés.
Mais effectivement, sur le fond, Mohamed a raison. Un espace est compact s'il est séparé et possède la propriété de Borel-Lebesgue.

A+
Fred.

tibo

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Re : intersection de compacte

Yop,

En pleine révision pour les examens, je confirme que:
quasi-compact = BL
compact = BL + séparé

Cependant, dans un espace non séparé, on ne peut pas faire grand chose (on a meme plus l'unicité de la limite)
donc, dans la plupart des exo, les espaces considérés sont séparés
donc quand on veut montrer la compacité, on omet de préciser que l'espace est séparé.

Par contre, on appelle pas ça "propriété de Borel-Lesbesgue", juste par définition d'un quasi-compact, de tout recouvrement d'ouvert, on peut en extraire un recouvrement fini.

Dernière modification par tibo (27-12-2010 22:46:57)

freddy

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Re : intersection de compacte

Merci à Fred et à Tibo (et à Mohamed, bien sûr !).

Je m'en vais relire mon Claude Berge et éventuellement mon Espace Vectoriel Topologique de Bourbaki !

Bb

khoder mazloum

Invité

Re : intersection de compacte

L'intersection des compacts est compact si l'espace est separe donne une contre exemple que si l'espace n'est pas separer l'inter. Des compacts n'est pas compact ??????

Adam7.

Invité

Re : intersection de compacte

Di K compacte,  L compacte  est-ce-que K inter L est un compacte ?

bridgslam

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Re : intersection de compacte

Bonsoir,

Sauf erreur, toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.
Dès lors une intersection quelconque de compacts est un fermé dans un compact, donc compact.

A.