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alucard_xs

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injection ou surjection ?

Bonjour à tous,

dans un exercice sur les ensembles, on me demande de démontrer que si f est injective alors, pour tous A, B de X on a
[tex]f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/tex]

(je précise f:X->Y)

mais je ne comprends pas trop la solution qu'on ma donné et qui commence par :

"Prenons en effet y=f(A[tex]\cap [/tex]B).Alors il existe x appartenant à [tex]A\cap B[/tex] tel que y=f(x) ...

c'est pas la définition de la surjection ça ?

Merci :)

freddy

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Re : injection ou surjection ?

Salut,

ben non ! Injective si pour tout x de X, f(x) existe et si f(x)=f(y), alors x=y.

Donc on considère bien une image par f de A inter B.

Surjective si tout y de Y admet au moins un x de X tq f(x)=y !

alucard_xs

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Re : injection ou surjection ?

ah ...
pour moi injective cela signifie : tout élément de Y admet au plus un antécédent dans X soit f(x)=f(y) équivaut à x=y ...

"si pour tout x de X, f(x) existe " -> c'est valable pour l'injection ou la surjection non ?

PS : merci ;)

PS2 : ""Prenons en effet y=f(AB).Alors il existe x appartenant à  tel que y=f(x) ..."

Mais puisque f est injective (hypothèse de départ) je peux très bien avoir un élément de Y qui n'ait pas d'antécédent dans X (au plus, un antécédent) donc ce x qui appartient à X tq y=f(x) est pas frocément vrai ...

Dernière modification par alucard_xs (21-12-2010 10:20:56)

freddy

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Re : injection ou surjection ?

Re,

non, pour l'injection, tout élément de X a une image, mais tout élément de Y peut ne pas avoir d'antécédent.

Par contre, ce qui compte dans l'injection est la seconde partie : si f(x)=f(y), alors x=y. c'est ça le + important.

va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ction.html

alucard_xs

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Re : injection ou surjection ?

Oui merci, mais je n'arrive à pas à comprendre le pourquoi de ma phrase du 1er post

Pour la surjection c'est valable aussi, tout élément x de X a une image dans Y.

"Mais puisque f est injective (hypothèse de départ) je peux très bien avoir un élément de Y qui n'ait pas d'antécédent dans X (au plus, un antécédent) donc ce x qui appartient à X tq y=f(x) est pas forcément vrai ...
" --> pourquoi alors cette phrase du premier post ? : "Prenons en effet y=f(AB).Alors il existe x appartenant à  tel que y=f(x) ..."

Dernière modification par alucard_xs (21-12-2010 10:28:16)

freddy

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Re : injection ou surjection ?

Re,

oui, bien sûr, mais dans le cas de la surjection, tout élément de Y admet au moins un antécédent dans X. C'est ça le + important.

C'est plus clair ?

alucard_xs

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Re : injection ou surjection ?

Ah oui je crois avoir compris :)

Merci !!

PS : je mélange les y=f(x) et les f(x)=y je crois, car selon injection ou surjection, ce n'est pas pareil right ?

Dernière modification par alucard_xs (21-12-2010 10:31:51)

freddy

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Re : injection ou surjection ?

You're welcome !!!

Oui à ta dernière question.

Dernière modification par freddy (21-12-2010 10:43:28)

alucard_xs

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Re : injection ou surjection ?

Yes ! :)

bon j'ai donc montré que y=f(A[tex]\cap [/tex]B)[tex]\Rightarrow \exists x\in A\cap B\,tq\,y=f\left(x)\right)[/tex]

et que [tex]y=f\left(A\right)\Rightarrow \exists x\in A\,tq\,y=f\left(x)\right)[/tex]

et enfin que [tex]y=f\left(B\right)\Rightarrow \exists x\in B\,tq\,y=f\left(x\right)[/tex]

Mais je bloque à l'étape la plus simple (je pense) à savoir montrer que [tex]f\left(A\cap B\right)=f\left(A\right)\cap f\left(B\right)[/tex]

Je manque encore un peu de logique je pense.
Surement que les deux lignes du dessus doivent pouvoir s'imbriquer mais je n'arrive pas à voir.

Dernière modification par alucard_xs (21-12-2010 10:59:57)

freddy

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Re : injection ou surjection ?

Re,

regarde, c'est assez simple.

puisque tu as montré qu'il existe bien cet x tq f(x)=y, tu sais aussi que

x appartient à A, donc f(x) appartient à f(A)

et x appartient à B, donc f(x) appartient aussi à f(B).

Conclusion : y=f(x) est aussi un élément de f(A) inter f(B), non ?

alucard_xs

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Re : injection ou surjection ?

yes !

Merci à toi pour cette précieuse aide.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : injection ou surjection ?

Bonsoir
Je préféère reformuler la question et ensuite te donner des indications.

[tex]\bullet[/tex] Exercice
Soient [tex]X [/tex] et  [tex]Y [/tex] deux ensembles non vides  et  [tex] f[/tex]  une  application de  [tex]X [/tex]  vers  [tex] Y [/tex]
Prouver que :
[tex]f [/tex]  est  injective [tex]\iff [/tex]  [tex] (\forall (A,B)  \in ({\mathcal P}(X))^2)  \quad   f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]

[tex]\bullet[/tex] Indications:

Tout d'abord, il  faut  soigner le travail en parlant de deux implications et  en indiquant laquelle on veut démontrer.
[tex]\Longrightarrow )[/tex] On suppose  que   [tex] f[/tex] est  ijective  et on  va montrer  que : 
  [tex] (\forall (A,B)  \in ({\mathcal P}(X))^2)  \quad   f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]
On sait que  pour  toute  application   [tex] f[/tex]    de   [tex]X [/tex] vers   [tex] Y[/tex]  on  a
[tex] (\forall (A,B)  \in ({\mathcal P}(X))^2)  \quad   f(A \cap B)  \subset  f(A) \cap f(B)[/tex]
même  si  [tex]f [/tex]  n'est  pas  injective
Il  reste  dnc  à  montrer  l'autre inclusion
Pour  tout  [tex] y \in Y[/tex], si   [tex]y  \in  f(A)  \cap  f(B) [/tex]  alors   [tex]\exists (a,b) \in A \times B   \quad   \left\{ \begin{array}{c} f(a)=y \\ f(b)=y \end{array}  \right. [/tex]
Je te laisse terminer  en  observant une  relation  entre  [tex]f(a) [/tex] et  [tex]f(b) [/tex] et  en  exploitant l'hypothèse faite sur  [tex]f [/tex]

[tex]\Longleftarrow)[/tex] On  suppose  que [tex] (\forall (A,B)  \in ({\mathcal P}(X))^2)  \quad   f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]
et on va montrer  que    [tex]f [/tex]   est  injective
Pour cela  soit  [tex](x,y)  \in X^2 [/tex] tel  que   [tex]f(x)=f(y) [/tex]  et  posons   [tex]A= \{x\} [/tex]  et [tex]B= \{y\} [/tex] 
Appliquons notre hypothése à   [tex]A [/tex] et [tex] B[/tex]
Ca te donne  quoi  ?

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (22-12-2010 00:23:26)