Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » injection ou surjection ?
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MOHAMED_AIT_LH
- 22-12-2010 00:18:29
Bonsoir
Je préféère reformuler la question et ensuite te donner des indications.
[tex]\bullet[/tex] Exercice
Soient [tex]X [/tex] et [tex]Y [/tex] deux ensembles non vides et [tex] f[/tex] une application de [tex]X [/tex] vers [tex] Y [/tex]
Prouver que :
[tex]f [/tex] est injective [tex]\iff [/tex] [tex] (\forall (A,B) \in ({\mathcal P}(X))^2) \quad f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Indications:
Tout d'abord, il faut soigner le travail en parlant de deux implications et en indiquant laquelle on veut démontrer.
[tex]\Longrightarrow )[/tex] On suppose que [tex] f[/tex] est ijective et on va montrer que :
[tex] (\forall (A,B) \in ({\mathcal P}(X))^2) \quad f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]
On sait que pour toute application [tex] f[/tex] de [tex]X [/tex] vers [tex] Y[/tex] on a
[tex] (\forall (A,B) \in ({\mathcal P}(X))^2) \quad f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)[/tex]
même si [tex]f [/tex] n'est pas injective
Il reste dnc à montrer l'autre inclusion
Pour tout [tex] y \in Y[/tex], si [tex]y \in f(A) \cap f(B) [/tex] alors [tex]\exists (a,b) \in A \times B \quad \left\{ \begin{array}{c} f(a)=y \\ f(b)=y \end{array} \right. [/tex]
Je te laisse terminer en observant une relation entre [tex]f(a) [/tex] et [tex]f(b) [/tex] et en exploitant l'hypothèse faite sur [tex]f [/tex]
[tex]\Longleftarrow)[/tex] On suppose que [tex] (\forall (A,B) \in ({\mathcal P}(X))^2) \quad f(A \cap B)= f(A) \cap f(B)[/tex]
et on va montrer que [tex]f [/tex] est injective
Pour cela soit [tex](x,y) \in X^2 [/tex] tel que [tex]f(x)=f(y) [/tex] et posons [tex]A= \{x\} [/tex] et [tex]B= \{y\} [/tex]
Appliquons notre hypothése à [tex]A [/tex] et [tex] B[/tex]
Ca te donne quoi ?
- alucard_xs
- 21-12-2010 13:13:16
yes !
Merci à toi pour cette précieuse aide.
- freddy
- 21-12-2010 12:00:35
Re,
regarde, c'est assez simple.
puisque tu as montré qu'il existe bien cet x tq f(x)=y, tu sais aussi que
x appartient à A, donc f(x) appartient à f(A)
et x appartient à B, donc f(x) appartient aussi à f(B).
Conclusion : y=f(x) est aussi un élément de f(A) inter f(B), non ?
- alucard_xs
- 21-12-2010 10:46:03
Yes ! :)
bon j'ai donc montré que y=f(A[tex]\cap [/tex]B)[tex]\Rightarrow \exists x\in A\cap B\,tq\,y=f\left(x)\right)[/tex]
et que [tex]y=f\left(A\right)\Rightarrow \exists x\in A\,tq\,y=f\left(x)\right)[/tex]
et enfin que [tex]y=f\left(B\right)\Rightarrow \exists x\in B\,tq\,y=f\left(x\right)[/tex]
Mais je bloque à l'étape la plus simple (je pense) à savoir montrer que [tex]f\left(A\cap B\right)=f\left(A\right)\cap f\left(B\right)[/tex]
Je manque encore un peu de logique je pense.
Surement que les deux lignes du dessus doivent pouvoir s'imbriquer mais je n'arrive pas à voir.
- freddy
- 21-12-2010 10:30:47
You're welcome !!!
Oui à ta dernière question.
- alucard_xs
- 21-12-2010 10:30:05
Ah oui je crois avoir compris :)
Merci !!
PS : je mélange les y=f(x) et les f(x)=y je crois, car selon injection ou surjection, ce n'est pas pareil right ?
- freddy
- 21-12-2010 10:28:17
Re,
oui, bien sûr, mais dans le cas de la surjection, tout élément de Y admet au moins un antécédent dans X. C'est ça le + important.
C'est plus clair ?
- alucard_xs
- 21-12-2010 10:25:35
Oui merci, mais je n'arrive à pas à comprendre le pourquoi de ma phrase du 1er post
Pour la surjection c'est valable aussi, tout élément x de X a une image dans Y.
"Mais puisque f est injective (hypothèse de départ) je peux très bien avoir un élément de Y qui n'ait pas d'antécédent dans X (au plus, un antécédent) donc ce x qui appartient à X tq y=f(x) est pas forcément vrai ...
" --> pourquoi alors cette phrase du premier post ? : "Prenons en effet y=f(AB).Alors il existe x appartenant à tel que y=f(x) ..."
- freddy
- 21-12-2010 10:21:40
Re,
non, pour l'injection, tout élément de X a une image, mais tout élément de Y peut ne pas avoir d'antécédent.
Par contre, ce qui compte dans l'injection est la seconde partie : si f(x)=f(y), alors x=y. c'est ça le + important.
va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ction.html
- alucard_xs
- 21-12-2010 10:12:08
ah ...
pour moi injective cela signifie : tout élément de Y admet au plus un antécédent dans X soit f(x)=f(y) équivaut à x=y ...
"si pour tout x de X, f(x) existe " -> c'est valable pour l'injection ou la surjection non ?
PS : merci ;)
PS2 : ""Prenons en effet y=f(AB).Alors il existe x appartenant à tel que y=f(x) ..."
Mais puisque f est injective (hypothèse de départ) je peux très bien avoir un élément de Y qui n'ait pas d'antécédent dans X (au plus, un antécédent) donc ce x qui appartient à X tq y=f(x) est pas frocément vrai ...
- freddy
- 21-12-2010 09:44:26
Salut,
ben non ! Injective si pour tout x de X, f(x) existe et si f(x)=f(y), alors x=y.
Donc on considère bien une image par f de A inter B.
Surjective si tout y de Y admet au moins un x de X tq f(x)=y !
- alucard_xs
- 21-12-2010 09:26:39
Bonjour à tous,
dans un exercice sur les ensembles, on me demande de démontrer que si f est injective alors, pour tous A, B de X on a
[tex]f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/tex]
(je précise f:X->Y)
mais je ne comprends pas trop la solution qu'on ma donné et qui commence par :
"Prenons en effet y=f(A[tex]\cap [/tex]B).Alors il existe x appartenant à [tex]A\cap B[/tex] tel que y=f(x) ...
c'est pas la définition de la surjection ça ?
Merci :)