Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel

Invité

Quiz Formes linéaires

Bonjour,

je voudrais savoir si vous pouviez m'aider à répondre à quelques questions:

1. Si une matrice est de rang r, toutes ses matrices extraites d'ordre r-1 sont inversibles.

2. Si  [tex]n\in {\mathcal{N}}^{\times }\,et\,qu'on\,pose\,pour\,k\in \mathcal{N},\,{\rho }_{k}:{\mathcal{R}}_{n}\left[X\right]\rightarrow \mathcal{R},P\rightarrow P\left(k\right)\,alors\,\left({\rho }_{0},...,{\rho }_{n}\right)\,est\,une\,base\,du\,dual\,de\,{R}_{n\left[X\right]}[/tex]

3. Si (x,y)  [tex]\in {\mathcal{R}}^{n}x{\mathcal{R}}^{n}\,sont\,tels\,que\,\forall \rho \in {\mathcal{R}}^{n}{}^{\times },\,\rho \left(x\right)=\rho \left(y\right)\,alors\,x=y[/tex]

4. Si 2 matrices carrées ont même trace et même rang, elles sont semblables.

Toute matrice de Mn(R) de rang r<n peut être transformée par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes en  [tex]\left(\begin{array}{c}Ir&0\\0&0\\\end{array}\right)[/tex]

Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Quiz Formes linéaires

Bonjour,

1. Non, ce n'est pas le cas. Imagine une matrice de taille très grandes de la forme suivante :
[tex]\left(\begin{array}{cc}{I}_{r}&0\\0&0\\\end{array}\right)[/tex]
où les blocs de zéros sont très grands....

2. Oui. Il suffit de démontrer que c'est une famille libre.
Si [tex]\sum_k a_k\rho_k=0[/tex], il suffit d'évaluer ceci en [tex]P(X)=(X-a_1)\dots(X-a_n)[/tex] pour prouver
que [tex]a_0[/tex] est nécessairement nul.

3. Oui. Suppose par contradiction que x et y sont distincts. Si x et y sont libres, tu considères F un supplémentaire de vect(x,y). On peut définir une forme linéaire sur [tex]\mathbb R^n[/tex] par f(u)=0 si u est dans F, f(y)=0 et f(x)=1, et on l'étend par linéarité.
Si x et y sont liés, il suffit de considérer une forme linéaire qui ne s'annule pas sur x. Sa valeur sera différente en y.

4. Non. Par exemple  [tex]\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right)[/tex] et [tex]\left(\begin{array}{cc}3&0\\0&-1\\\end{array}\right)[/tex] ont même trace et même rang, mais ne sont pas semblables (parce qu'elles n'ont pas les mêmes valeurs propres. C'est aussi facile d'étudier les matrices semblables à la première...).

Fred.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Quiz Formes linéaires

Bonjour

pour  le  1)   On  peut  voir ce  que  Fred  a  expliqué  à  travers l'exemple suivant :  [tex]A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1 \end{array} \right)[/tex] qui  est  de  rang [tex]2[/tex]  mais a  des  matrices extraites nulles ...

Pour  4)
Deux  matrices  peuvent  avoir même  rang  et  même  polynôme  caractéristique  sans qu'elles   soient  semblables.
Exemple:

[tex]A=\left(\begin{array}{ccc}{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array} \right)[/tex]       

[tex]B=\left(\begin{array}{ccc}{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1 \end{array} \right)[/tex]     

sont   inversibles  donc  de  rang  [tex]3[/tex]  chacune
ont    même   polynôme  caractéristique  [tex]\chi  =-(X-1)^3[/tex]
mais  ne  sont  pas  semblables   car  une  est  diagonalisable  et  l'autre  non  ...  à  toi  de  voir  lesquelles  et   pourquoi  ...(Je  m'adresse  à  Michel  dans cette  derniére citation )

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-12-2010 22:27:53)