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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MOHAMED_AIT_LH
- 13-12-2010 21:10:43
Bonjour
pour le 1) On peut voir ce que Fred a expliqué à travers l'exemple suivant : [tex]A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1 \end{array} \right)[/tex] qui est de rang [tex]2[/tex] mais a des matrices extraites nulles ...
Pour 4)
Deux matrices peuvent avoir même rang et même polynôme caractéristique sans qu'elles soient semblables.
Exemple:
[tex]A=\left(\begin{array}{ccc}{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array} \right)[/tex]
[tex]B=\left(\begin{array}{ccc}{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1 \end{array} \right)[/tex]
sont inversibles donc de rang [tex]3[/tex] chacune
ont même polynôme caractéristique [tex]\chi =-(X-1)^3[/tex]
mais ne sont pas semblables car une est diagonalisable et l'autre non ... à toi de voir lesquelles et pourquoi ...(Je m'adresse à Michel dans cette derniére citation )
- Fred
- 30-11-2010 13:06:07
Bonjour,
1. Non, ce n'est pas le cas. Imagine une matrice de taille très grandes de la forme suivante :
[tex]\left(\begin{array}{cc}{I}_{r}&0\\0&0\\\end{array}\right)[/tex]
où les blocs de zéros sont très grands....
2. Oui. Il suffit de démontrer que c'est une famille libre.
Si [tex]\sum_k a_k\rho_k=0[/tex], il suffit d'évaluer ceci en [tex]P(X)=(X-a_1)\dots(X-a_n)[/tex] pour prouver
que [tex]a_0[/tex] est nécessairement nul.
3. Oui. Suppose par contradiction que x et y sont distincts. Si x et y sont libres, tu considères F un supplémentaire de vect(x,y). On peut définir une forme linéaire sur [tex]\mathbb R^n[/tex] par f(u)=0 si u est dans F, f(y)=0 et f(x)=1, et on l'étend par linéarité.
Si x et y sont liés, il suffit de considérer une forme linéaire qui ne s'annule pas sur x. Sa valeur sera différente en y.
4. Non. Par exemple [tex]\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right)[/tex] et [tex]\left(\begin{array}{cc}3&0\\0&-1\\\end{array}\right)[/tex] ont même trace et même rang, mais ne sont pas semblables (parce qu'elles n'ont pas les mêmes valeurs propres. C'est aussi facile d'étudier les matrices semblables à la première...).
Fred.
- Michel
- 30-11-2010 12:33:04
Bonjour,
je voudrais savoir si vous pouviez m'aider à répondre à quelques questions:
1. Si une matrice est de rang r, toutes ses matrices extraites d'ordre r-1 sont inversibles.
2. Si [tex]n\in {\mathcal{N}}^{\times }\,et\,qu'on\,pose\,pour\,k\in \mathcal{N},\,{\rho }_{k}:{\mathcal{R}}_{n}\left[X\right]\rightarrow \mathcal{R},P\rightarrow P\left(k\right)\,alors\,\left({\rho }_{0},...,{\rho }_{n}\right)\,est\,une\,base\,du\,dual\,de\,{R}_{n\left[X\right]}[/tex]
3. Si (x,y) [tex]\in {\mathcal{R}}^{n}x{\mathcal{R}}^{n}\,sont\,tels\,que\,\forall \rho \in {\mathcal{R}}^{n}{}^{\times },\,\rho \left(x\right)=\rho \left(y\right)\,alors\,x=y[/tex]
4. Si 2 matrices carrées ont même trace et même rang, elles sont semblables.
Toute matrice de Mn(R) de rang r<n peut être transformée par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes en [tex]\left(\begin{array}{c}Ir&0\\0&0\\\end{array}\right)[/tex]
Merci beaucoup.