Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tibo

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connexe de Rn

Bonjour,

En exercice, on a démontré que les ouverts connexes de Rn sont connexes par arc.

Question immédiate que je me suis posé (et j'ai bien l'impression d'etre le seul de la classe):
Qu'en est-il des non-ouvert connexes de Rn?

J'ai beau y réfléchir je ne trouve aucun contre-exemple, je n'arrive pas non plus à le démontrer.
La démonstration avec les ouverts n'est pas adaptable.
Et meme gogole ne m'as donné de réponse.

Je m'en remet donc à vous.

une piste peut etre:
trouver l'image d'un convexe par une application continue qui ne soit pas convexe par arc...

Fred

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Re : connexe de Rn

Salut Tibo,

  Voici un joli exemple de connexe qui n'est pas connexe par arcs :

[tex]E=\{(t,sin(1/t);t>0\}\cup\{0\}\times [-1,1][/tex]

c'est-à-dire le réunion du graphe de la fonction sin(1/t) et d'une partie de l'axe des ordonnées.

D'abord, il faut que tu dessines le graphe de la fonction pour que tu comprennes quelque chose.

Pour démontrer que [tex]E[/tex] est connexe, il suffit de remarquer que [tex]E[/tex] est l'adhérence de
[tex] A=\{(t,\sin(1/t);t>0\} [/tex]
qui est connexe (c'est l'image continue d'un connexe), et l'adhérence d'un connexe est connexe.

Pour démontrer que [tex]E[/tex] n'est pas connexe par arcs, il faut raisonner par l'absurde et supposer par
exemple que tu as un chemin continu tracé dans [tex]E[/tex] reliant (0,0) à (1,sin(1)).
Tu dois arriver à une contradiction concernant l'existence d'une limite de sin(1/t) en 0....

Fred.

tibo

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Re : connexe de Rn

Joli... c'est la ou j'aime les math

J'y étais presque en plus
J'avais pensé à regarder sin(1/t), mais pas de rajouter un bout d'axe

merci beaucoup