Forum de mathématiques - Bibm@th.net

marin marais

Membre

Inscription : 25-07-2010

Messages : 41

Calcul de probabilité

Bonjour à tous et à toutes.

J'aurais besoin de votre aide pour vérifier si mon calcul ci-dessous est juste.

Je cherche à calculer la probabilité qu'un couple de variables aléatoires réelles, gaussiennes, indépendantes, centrées et de même écart-type [tex]\sigma[/tex] appartienne au disque de centre zéro et de rayon [tex]k\sigma[/tex].

Voici l'espression de leur densité de probabilité en dimension 2 :
[tex]\varphi\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2+y^2\right)}[/tex]

La probabilité élémentaire dP que le couple (x,y) appartienne à la surface élémentaire dx.dy est :
[tex]dP=\varphi\left(x,y\right)\, dx\, dy[/tex]

Pour résoudre l'intégrale selon un disque, je passe en coordonnées polaires r et [tex]\theta[/tex].
On a :
o   [tex]r^2=x^2+y^2[/tex]
o   [tex]dx\, dy=r\, d\theta\, dr[/tex]

Du coup la probabilité que mon couple soit dans le disque de rayon [tex]k\sigma[/tex] est donnée par :
[tex]\begin{array}{ll}
        P & = \displaystyle{\int_0^{k\sigma}\int_0^{2\pi}\frac{r}{2\pi\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\, d\theta\, dr} \\
          &  \\
          & = \displaystyle{\int_0^{k\sigma}\frac{r}{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\, dr} \\
          &  \\
          & = \displaystyle{1-\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{2}}}
    \end{array}[/tex]

Pour [tex]k=3[/tex], j'obtiens [tex]P=98.9\%[/tex]

Est-ce que ça vous paraît juste ???

Comme je suis en phase terminale de rédaction de thèse, j'ai plus trop le temps de lire des livres de stat...

Merci,
Thomas.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Calcul de probabilité

Salut,

oui, c'est OK. Et si tu poses k=3.1, tu devrais trouver 99 %.

marin marais

Membre

Inscription : 25-07-2010

Messages : 41

Re : Calcul de probabilité

Merci Freddy,

Pour info, ce sont les 3 sigma qui m'importent... Je voulais juste vérifier si le résultat final de mes simulations étaient dans les tolérances spécifiées à 3 sigma. C'est ballot, j'obtiens 98.2%... Bah mes patrons s'en contenteront bien.

J'espère que cette approximation ne sera pas responsable d'une catastrophe nucléaire (je bosse au CERN) ;o)

Merci encore,
Thomas.