Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci Freddy,

Pour info, ce sont les 3 sigma qui m'importent... Je voulais juste vérifier si le résultat final de mes simulations étaient dans les tolérances spécifiées à 3 sigma. C'est ballot, j'obtiens 98.2%... Bah mes patrons s'en contenteront bien.

J'espère que cette approximation ne sera pas responsable d'une catastrophe nucléaire (je bosse au CERN) ;o)

Merci encore,
Thomas.

Bonjour à tous et à toutes.

J'aurais besoin de votre aide pour vérifier si mon calcul ci-dessous est juste.

Je cherche à calculer la probabilité qu'un couple de variables aléatoires réelles, gaussiennes, indépendantes, centrées et de même écart-type [tex]\sigma[/tex] appartienne au disque de centre zéro et de rayon [tex]k\sigma[/tex].

Voici l'espression de leur densité de probabilité en dimension 2 :
[tex]\varphi\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2+y^2\right)}[/tex]

La probabilité élémentaire dP que le couple (x,y) appartienne à la surface élémentaire dx.dy est :
[tex]dP=\varphi\left(x,y\right)\, dx\, dy[/tex]

Pour résoudre l'intégrale selon un disque, je passe en coordonnées polaires r et [tex]\theta[/tex].
On a :
o   [tex]r^2=x^2+y^2[/tex]
o   [tex]dx\, dy=r\, d\theta\, dr[/tex]

Du coup la probabilité que mon couple soit dans le disque de rayon [tex]k\sigma[/tex] est donnée par :
[tex]\begin{array}{ll}
        P & = \displaystyle{\int_0^{k\sigma}\int_0^{2\pi}\frac{r}{2\pi\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\, d\theta\, dr} \\
          &  \\
          & = \displaystyle{\int_0^{k\sigma}\frac{r}{\sigma^2}\mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\, dr} \\
          &  \\
          & = \displaystyle{1-\mathrm{e}^{-\frac{k^2}{2}}}
    \end{array}[/tex]

Pour [tex]k=3[/tex], j'obtiens [tex]P=98.9\%[/tex]

Est-ce que ça vous paraît juste ???

Comme je suis en phase terminale de rédaction de thèse, j'ai plus trop le temps de lire des livres de stat...

Merci,
Thomas.