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#1 23-08-2010 14:29:49
- ramses78
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Equation différenielle
Bonjour, voici le problème
On considère l'équation différentielle suivante :
x(x²-1)y'+2y=x² (E)
Étude préliminaire
1-Caractériser cette équation. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (E) sur chacun des intervalles fondamentaux ?
Réponse :
je ne vois pas trop que signifie caractériser cette équation, s'agit t-il de définir les intervalles de définition ?
I=]-infini,-1[u]-1,0[u]0,1[u]1,+infini[
Concernant la structure : L'ensemble des solutions S à (E) est obtenu en ajoutant à toutes les solutions de Eo une solution particulière quelconque de (E). L'ensemble des solutions So à (Eo) étant un sous espace vectoriel des fonctions C²(I). Notons que (Eo) est l'équation homogène et I un intervalle de définition de (E).
je pense à cela, mais est ce juste ?
2-Soit y1 une solution de (E) sur un intervalle I1.Démontrer que la fonction y2 définie par y2(x)=y1(-x) est solution de (E) sur un intervalle I2 que l'on précisera.
Réponse :
qqsoit x appartenant à I1, x(x²-1)y1(x)'+2y1(x)=x² et si I1=]0,1[u]1,+infini[ on a x>0 ;
qqsoit x appartenant à I2, x(x²-1)y1(-x)'+2y1(-x)=x² et si I1=]-infini,-1[u]-1,0[ on a x<0 ;
en remarquant que y2(x)=y1(-x) on a : x(x²-1)y2(x)'+2y2(x)=x² achève la démonstration.
Est ce ma démonstration est correcte ?
3-Est-il juste de dire que toute solution maximale de (E) est paire ?
Je répondrais « oui » mais je ne vois pas comment justifier ou peut être que j'ai faux ?
Je vous remercie de me faire part de vos idées...
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#2 23-08-2010 15:39:48
Re : Equation différenielle
Bonjour M. Ramses78,
j'ai pas lu d'abord l'énoncé.
Entre ce que tu as tapé et ça
[tex]\left(E\right)\,:\,x\left(x²-1\right)y'+2y=x² [/tex] [tex]]-\infty ,\,-1\left[U\right]-1,\,0\left[U\right]0,\,1\left[U\right]1,+\infty \left[\[/tex]
le quel tu trouve lisible.
1 Conseil ..... Utiliser l'éditeur d'équation en cliquant sur le bouton "Insérer un équation" juste en dessous du champ de saisi de ton poste.
si ta des problèmes va voir ce lien http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX , en tout cas ça m'a beaucou aidé.
du courage!!!!!!!!!!
je vais essayer de voir ce que je peux faire avec ton exercice.
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#3 23-08-2010 16:01:25
- Fred
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- Messages : 7 348
Re : Equation différenielle
Bonjour, voici le problème
On considère l'équation différentielle suivante :
x(x²-1)y'+2y=x² (E)Étude préliminaire
1-Caractériser cette équation. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (E) sur chacun des intervalles fondamentaux ?
Réponse :
je ne vois pas trop que signifie caractériser cette équation, s'agit t-il de définir les intervalles de définition ?
I=]-infini,-1[u]-1,0[u]0,1[u]1,+infini[
Je ne comprends pas non plus la signification de ce mot "caractériser". La seule chose que l'on peut dire, c'est que c'est une équation différentielle linéaire sur chacun des intervalles suivants :
[tex]I_0=]-\infty,-1[,\ I_1=]-1,0[,\ I_2=]0,1[,\ I_3=]1,+\infty[ [/tex]
(on a bien 4 intervalles sur lesquels on travaille de façon distincte, on ne regarde pas la réunion des 4 intervalles).
Concernant la structure : L'ensemble des solutions S à (E) est obtenu en ajoutant à toutes les solutions de Eo une solution particulière quelconque de (E). L'ensemble des solutions So à (Eo) étant un sous espace vectoriel des fonctions C²(I). Notons que (Eo) est l'équation homogène et I un intervalle de définition de (E).
je pense à cela, mais est ce juste ?
Oui.
2-Soit y1 une solution de (E) sur un intervalle I1.Démontrer que la fonction y2 définie par y2(x)=y1(-x) est solution de (E) sur un intervalle I2 que l'on précisera.
Réponse :
qqsoit x appartenant à I1, x(x²-1)y1(x)'+2y1(x)=x² et si I1=]0,1[u]1,+infini[ on a x>0 ;
qqsoit x appartenant à I2, x(x²-1)y1(-x)'+2y1(-x)=x² et si I1=]-infini,-1[u]-1,0[ on a x<0 ;
en remarquant que y2(x)=y1(-x) on a : x(x²-1)y2(x)'+2y2(x)=x² achève la démonstration.
Est ce ma démonstration est correcte ?
Sauf que tu ne connais pas [tex]I_1[/tex]. Ca peut être l'un des 4 intervalles que je te cite plus tôt.
3-Est-il juste de dire que toute solution maximale de (E) est paire ?
Je répondrais « oui » mais je ne vois pas comment justifier ou peut être que j'ai faux ?
Moi, je ne vois pas pourquoi cela serait oui. Tes solutions maximales sont définies sur un certain intervalle.
Il peut être ]0,1[ par exemple. Tu auras aussi une solution sur ]-1,0[ donné par la question précédente, mais rien ne te dit comment tu vas définir cette solution en 0. Peut-être que ce n'est pas possible.
Donc, sans résoudre un peu plus l'équation différentielle, on ne peut pas répondre.
Je vous remercie de me faire part de vos idées...
Merci.
Fred.
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#4 23-08-2010 16:21:27
- ramses78
- Membre
- Inscription : 15-08-2010
- Messages : 9
Re : Equation différenielle
Merci pour vos réponses, et Tsaloum tu as raison, c'est mieux d'utiliser l'éditeur. Je comprends ce que tu dis Fred, mais la résolution c'est après toutes ces questions. Elle ne pose pas de problème mais c'est plutôt l'étude préliminaire qui semble pas très claire, en tout cas pour moi.
@+
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#5 23-08-2010 16:50:18
Re : Equation différenielle
Salut!
généralement on caractérise une fonction (solution de l'équation différentielle), si c'est le cas il s'agit de se donner une condition initiale avant de résoudre.
la quetion que je me pose est quelle doit être cette condition initiale?
je pense comme le grand Fred, prendre les intervalles de définition séparément doit faire l'affaire .
je reviens pour la suite.........
Dernière modification par tsaloum (23-08-2010 18:02:26)
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#6 24-08-2010 07:49:41
- JJ
- Membre
- Inscription : 04-06-2007
- Messages : 110
Re : Equation différenielle
Bonjour,
sans vouloir répondre strictement aux questions posées et pour information :
On peut résoudre directement cette équation différentielle qui est relativement simple :
y = x*ln(C*x)/(x²-1) avec C = constante quelconque.
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#7 24-08-2010 09:10:22
Re : Equation différenielle
Bonjour,
je suis curieux de savoir comment tu as procédé
Cependant moi je ne trouve pas le même résultat...
peut être que je me suis trompé quelque part, mais peux-tu détailler un peu, s'il te plaît ? .........
en attente de JJ
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#9 24-08-2010 10:00:10
- ramses78
- Membre
- Inscription : 15-08-2010
- Messages : 9
Re : Equation différenielle
Bonjour,
comment tu as fait car je ne vois pas le résultat aussi direct, d'autant plus que la suite du problème c'est la résolution de l'équation homogène puis avec une solution particulière sans compter les raccordements qu'il faut ajouter.
Merci pour ta réponse mais sa mérite des explications si c'est juste..
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#10 24-08-2010 12:16:53
Re : Equation différenielle
RE, Bjr!!
pour l'équation homogène, c'est assez simple
ie [tex]\left({E}_{0}\right):\,y'=\frac{-2}{x\left(x²-1\right)}y[/tex]
avec une décomposition en élément de la fraction rationnelle, tu auras [tex]{y}_{0}=K\times \frac{x²}{x²-1}\,,\,où\,K\,est\,une\,cons\tan te[/tex] .
ensuite il faut chercher la solution particulière,
je suis un p oqp, mais je reviens pour la suite si quelqu'un d'autre ne répond pas avant moi.
a bientôt
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#11 24-08-2010 13:01:11
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Equation différenielle
Bonjour,
Bon, j'essaie de m'y coller...
on a donc :
[tex]y'=\frac{-2}{x(x^2-1)}y[/tex], soit [tex]\frac{y'}{y}=\frac{-2}{x(x^2-1)}[/tex]
On a donc une équa diff du type : [tex]\frac{y'}{y}=f(x)[/tex], dont la solution est : [tex]y=k.e^{F(x)}[/tex]
où k est une constante qui dépend des conditions initiales et F(x) une primitive de f(x).
Ceci posé, j'examine : [tex]\frac{-2}{x(x^2-1)}=\frac{-2}{x(x+1)(x-1)}[/tex]
Et je me dis que je peux décomposer sous cette forme : [tex]\frac{-2}{x(x+1)(x-1)}=\frac a x +\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-1}[/tex]
Reste à trouver a, b et : a=-2, b = c = 1
Donc :
[tex]f(x)=\frac{-2}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}[/tex], dont une primitive est [tex]F(x)=\ln\left(\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\right)[/tex], sauf erreur de calcul, freddy dixit...
Donc [tex]y=k.\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}[/tex]
Voilà.
C'est à ça que tu pensais, tsaloum ?
@+
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#12 24-08-2010 14:02:01
Re : Equation différenielle
Re,
Salut yoshi,
il semble que t'a oublié un - quelque part dans ton développement,
Et je me dis que je peux décomposer sous cette forme : [tex]\frac{-2}{x(x+1)(x-1)}=\frac a x +\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-1}[/tex]
Reste à trouver a, b et : a=-2, b = c = 1.
en prenant a=-2, en essayant de faire -2(x-1)(x+1)
tu vois que le seul coefficient constant ici serait 2 au lieu de -2 pour l'énoncé.
Voilà, a=2, b=c=1.
je pense que ce que j'ai fait est correcte. vérifie voir!!!!!!!!!
C'est à ça que tu pensais, tsaloum ?
@+
Non! je pense que mon résultat est correcte
a ++
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#13 24-08-2010 15:06:28
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Equation différenielle
Re,
Arf, oui j'ai fait sans le - et oublié de le remettre à la fin...
Mais erreur pour toi aussi : a=2, b=-1 et c=-1.
Donc, il fallait lire
[tex]f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}[/tex]
En effet : [tex]2(x^2-1)-x(x-1)-x(x+1)=2x^2-2-x^2+x-x^2-x=-2[/tex]
Soit [tex]F(x)=\ln(x^2)-(\ln(x+1)+\ln(x-1)=\ln\left(\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}\right)[/tex]
Et
[tex]y=k.\frac{x^2}{x^2-1}[/tex]
Cette fois, je ne vois pas de faille...
[tex]y'=k.\frac{2x(x^2-1)-x^2\times 2x}{(x^2-1)^2}=k.\frac{-2x}{(x^2-1)^2}[/tex]
[tex]{y' \over y}=\frac{k.\dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}}{k.\dfrac{x^2}{x^2-1}}=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}\times \frac{x^2-1}{x^2}=\frac{-2}{x(x^2-1)}[/tex]
Donc, là on est d'accord.
@+
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#14 24-08-2010 15:46:55
Re : Equation différenielle
Re,
oui, erreur de frappe pour les valeurs de a, b et c! mais ça va!
je me suis à la recherche d'une solution particulière en posant : [tex]{y}_{p}=k\left(x\right)\times \frac{x²}{x²-1}[/tex]
ie en faisant varier la constante en fonction de x.
en faisant quelque bricolage j'ai finit par trouver [tex]k\left(x\right)=\ln x[/tex].
mais je ne me rappelle plus trop où l'ajouter, sinon je fouille ou quelqu'un me donne un coup de main!!
a votre attente!!
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#15 24-08-2010 17:15:55
Re : Equation différenielle
Re, bsr
en reflichissant un peu après
Re,
oui, erreur de frappe pour les valeurs de a, b et c! mais ça va!
je me suis à la recherche d'une solution particulière en posant : [tex]{y}_{p}=k\left(x\right)\times \frac{x²}{x²-1}[/tex]
ie en faisant varier la constante en fonction de x.en faisant quelque bricolage j'ai finit par trouver [tex]k\left(x\right)=\ln x[/tex].
mais je ne me rappelle plus trop où l'ajouter, sinon je fouille ou quelqu'un me donne un coup de main!!a votre attente!!
Voici ce que j'ai eu comme résultat :
[tex]y\left(x\right)=\frac{Kx²}{x²-1}\times \ln x[/tex] .
Cependant je sais que K=1.mais comment le démontrer?
si quelqu'un a une idée.....
Merci!
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#16 24-08-2010 20:07:39
Re : Equation différenielle
Salut,
Ton équation est une équation différentielle ordinaire linéaire à coefficients variables. (C'est probablement d'ailleurs ce que l'on te demande de dire quand on te demande de caractériser ton équation différentielle.) La structure de l'ensemble des solution est :
{Ensemble de toutes les solutions de l'équation homogène} + Une solution particulière
C'est de l'algèbre linéaire pure. Les solutions de f(x) = y sont Ker(f) + x0 si f(x0) = y et f linéaire.
N'importe quelle solution particulière peut convenir donc K vaut ce que tu veux.
A+
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