Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re, bsr
en reflichissant un peu après

Voici ce que j'ai eu comme résultat :
[tex]y\left(x\right)=\frac{Kx²}{x²-1}\times \ln x[/tex] .
Cependant je sais que K=1.mais comment le démontrer?
si quelqu'un a une idée.....

Merci!

Re,

Arf, oui j'ai fait sans le - et oublié de le remettre à la fin...
Mais erreur pour toi aussi : a=2, b=-1 et c=-1.
Donc, il fallait lire
[tex]f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}[/tex]
En effet  :  [tex]2(x^2-1)-x(x-1)-x(x+1)=2x^2-2-x^2+x-x^2-x=-2[/tex]

Soit [tex]F(x)=\ln(x^2)-(\ln(x+1)+\ln(x-1)=\ln\left(\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}\right)[/tex]
Et
[tex]y=k.\frac{x^2}{x^2-1}[/tex]

Cette fois, je ne vois pas de faille...

[tex]y'=k.\frac{2x(x^2-1)-x^2\times 2x}{(x^2-1)^2}=k.\frac{-2x}{(x^2-1)^2}[/tex]

[tex]{y' \over y}=\frac{k.\dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}}{k.\dfrac{x^2}{x^2-1}}=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}\times \frac{x^2-1}{x^2}=\frac{-2}{x(x^2-1)}[/tex]

Donc, là on est d'accord.

@+

Bonjour,

Bon, j'essaie de m'y coller...
on a donc :
[tex]y'=\frac{-2}{x(x^2-1)}y[/tex],  soit [tex]\frac{y'}{y}=\frac{-2}{x(x^2-1)}[/tex]
On a donc une équa diff du type : [tex]\frac{y'}{y}=f(x)[/tex], dont la solution est : [tex]y=k.e^{F(x)}[/tex]
où k est une constante qui dépend des conditions initiales et F(x) une primitive de f(x).

Ceci posé, j'examine : [tex]\frac{-2}{x(x^2-1)}=\frac{-2}{x(x+1)(x-1)}[/tex]
Et je me dis que je peux décomposer sous cette forme : [tex]\frac{-2}{x(x+1)(x-1)}=\frac a x +\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-1}[/tex]
Reste à trouver a, b et : a=-2, b = c = 1
Donc :
[tex]f(x)=\frac{-2}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}[/tex], dont une primitive est [tex]F(x)=\ln\left(\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}\right)[/tex], sauf erreur de calcul, freddy dixit...

Donc [tex]y=k.\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}[/tex]
Voilà.

C'est à ça que tu pensais, tsaloum ?

@+

Bonjour,
comment tu as fait car je ne vois pas le résultat aussi direct, d'autant plus que la suite du problème c'est la résolution de l'équation homogène puis avec une solution particulière sans compter les raccordements qu'il faut ajouter.
Merci pour ta réponse mais sa mérite des explications si c'est juste..

Bonjour,
je suis curieux de savoir comment tu as procédé
Cependant moi je ne trouve pas le même résultat...

peut être que je me suis trompé quelque part, mais peux-tu détailler un peu, s'il te plaît ? .........

en attente de JJ

Salut!
généralement on caractérise une fonction (solution de l'équation différentielle), si c'est le cas il s'agit de se donner une condition initiale avant de résoudre.
la quetion que je me pose est quelle doit être cette condition initiale?
je pense comme le grand Fred,  prendre les intervalles de définition séparément doit faire l'affaire .

je reviens pour la suite.........

Je ne comprends pas non plus la signification de ce mot "caractériser". La seule chose que l'on peut dire, c'est que c'est une équation différentielle linéaire sur chacun des intervalles suivants :
[tex]I_0=]-\infty,-1[,\ I_1=]-1,0[,\ I_2=]0,1[,\ I_3=]1,+\infty[ [/tex]

(on a bien 4 intervalles sur lesquels on travaille de façon distincte, on ne regarde pas la réunion des 4 intervalles).

Oui.

Sauf que tu ne connais pas [tex]I_1[/tex]. Ca peut être l'un des 4 intervalles que je te cite plus tôt.

Moi, je ne vois pas pourquoi cela serait oui. Tes solutions maximales sont définies sur un certain intervalle.
Il peut être ]0,1[ par exemple. Tu auras aussi une solution sur ]-1,0[ donné par la question précédente, mais rien ne te dit comment tu vas définir cette solution en 0. Peut-être que ce n'est pas possible.
Donc, sans résoudre un peu plus l'équation différentielle, on ne peut pas répondre.

Merci.

Fred.