Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 484

Histoires de fonctions

Bonjour,

Episode 1
$\forall {a_0} \in \mathbb{ N}, a_0>1$, on définit la suite  $a_0, a_1, a_2...a_n$
par :
$\displaystyle \forall n \ge 0,\ a_{n+1} =
  \begin{cases}
    \sqrt{a_n}       & \quad \text{si } \sqrt{a_n} \text{ est un entier}\\
    a_n + 3  & \quad \text{sinon}
  \end{cases}$

Déterminer toutes les valeurs de $a_0$ pour lesquelles il existe un nombre $A$ tel que $a_n = A$ pour une infinité de valeurs de $n$.

Episode 2

Déterminer toutes les fonctions  $f$ définies sur $\mathbb R$
telles que
$x,y \in \mathbb R -->\displaystyle f\left(f(x)f(y)\right)+f(x+y)=f(xy)$

@+

Dernière modification par yoshi (29-06-2026 16:46:47)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 508

Re : Histoires de fonctions

Bonjour,
On dirait que ton copier-coller a introduit pas mal de ? parasites;

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 484

Re : Histoires de fonctions

Salut Michel,

Merci...

Ce n'était pas un copier/coller, j'ai voulu faire du style, je n'avais pas vérifié mes corrections successives avant de valider et je m'étais grave emmêlé les pinceaux.
Mes excuses à ceux qui m'ont lu et pas compris...

Problème réglé (j'ai fait plusieurs aperçus en chemin, on n'est jamais trop prudent).
Ça m'apprendra à être trop sûr de moi en utilisant Latex...

Cette leçon vaut bien un fromage sans doute.

@+

Dernière modification par yoshi (29-06-2026 16:45:42)

verdurin

Membre

Inscription : 24-01-2018

Messages : 32

Re : Histoires de fonctions

Bonsoir,
pour l'épisode 1.

▼Texte caché

On commence par remarquer que si il y a un indice $k$ tel que $a_k\equiv 2\pmod{3}$ alors la suite ne contient plus de carré et qu'elle est  donc strictement croissante à partir de cet indice. Donc les valeurs de $a_0$ congrues à 2 modulo 3 ne conviennent pas.

Ensuite on voit que le premier carré atteint à partir de $a_0$ a une racine carrée strictement inférieure à $a_0$.

Ce qui garanti qu'en partant d'un multiple de trois on va tomber sur le cycle ( 3 ; 6 ; 9).
Par exemple en partant d'un multiple de trois entre $29^2=841$ et $30^2=900$ on va arriver à 900, puis 30, 33, 36, 6, 9, 3, 6, 9 etc.

Il reste le cas $a_0\equiv 1\pmod{3}$.
On se rend facilement compte que l'on va toujours finir par avoir une racine congrue à 2 modulo 3.

Finalement les valeurs demandées sont les multiples de trois.