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pomz

Invité

Élément neutre à droite pour la soustraction dans Z

Bonjour.

Voici un petit exercice pour lequel je coince et ne suis pas très sûr :

Démontrer que la soustraction dans $\mathbb{Z}$ admet un élément neutre $e$ à droite tel que $a-e=a$.

Pour le moment ma réponse ressemble à ça :

$$\begin{align*}
a-e = a  & \iff & (-a) + a - e = (-a) + a \\
              & \iff & -e=0 \\
              & \iff & e = 0
\end{align*}$$

mais j'ai l'impression d'aller trop vite et de sauter des étapes.

Ai-je fait quelque chose mal ? Si oui, quoi donc ?

Merci d'avance !

DeGeer

Membre

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Messages : 233

Re : Élément neutre à droite pour la soustraction dans Z

Bonjour
A priori, tu pars du principe que $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe.
Il ne reste plus qu'à vérifier que $0$ est bien un neutre à droite pour la soustraction.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Élément neutre à droite pour la soustraction dans Z

Bonjour,
Dans quel contexte cet exercice est-il posé ? Autrement dit, quelle est la définition de $\mathbb Z$ qui précède cet exercice ? Quelle est la définition de la soustraction ?

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Élément neutre à droite pour la soustraction dans Z

Bonsoir,

Impossible de répondre à ta question sans  précision sur les définitions qui t'ont été données.
Sans axiomes préalables, il n'est par-contre pas évident d'écrire tes égalités, qui semblent être tapées un peu automatiquement...
Rien ne dit ( tu n'utilises pas de parenthèses) qu'il y ait une associativité, même juste à droite, entre  + et - ( en fait il y en a une , mais pas à gauche), comme il y en a une pour + par exemple.
D'autre part, si - est juste une opération binaire, l'expression - e n'a pas de sens.