Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pomz

Invité

Voisinage d'un nombre réel

Bonjour.

Je révise mon cours sur les espaces vectoriels normés dans lequel on nous a entre autres donné cette définition

Soit $x$ un nombre réel, on appelle voisinage de $x$ dans $\mathbb{R}$ tout sous-ensemble $V$ contenant un intervalle ouvert contenant $x$

ainsi que quelques exemples

$\]-10; 10\]$ est un voisinage de $3$

$\]-10; 3\]$ n'est pas un voisinage de $3$

$\]0; 1\[$ est un voisinage de $0,5$

$\[0,5; 1\]$ n'est pas un voisinage de $0,5$

Mais je ne suis pas bien certain de comprendre pourquoi $\]-10; 3\]$ et $\[0,5; 1\]$ ne sont pas respectivement des voisinages de $3$ et $0,5$.

Pourquoi n'en sont-ils pas ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 356

Re : Voisinage d'un nombre réel

Bonjour,

Peux-tu trouver un ouvert de $\mathbb{R}$ contenant $3$ et inclus dans $]-10;\ 3]$ ?

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (15-04-2026 05:53:29)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 910

Re : Voisinage d'un nombre réel

Bonsoir,

Avec la définition donnée,  si un des intervalles I proposés est un voisinage de 3, on aurait a <3 <b pour des réels a et b , avec ]a b[ inclus dans I.
Aucune  extrémité de I n'est donc strictement comprise entre a et b, et 3 n'est donc égal à aucune borne de I.
Tu peux donc répondre avec ces observations.
En somme cela revient à dire plus généralement qu'un élément est toujours à l"'intérieur"  d'un de ses voisinages. Impossible d'être "au bord".

pomz

Invité

Re : Voisinage d'un nombre réel

Bonjour.

Je vous remercie tout deux pour vos éclairages qui rendent finalement la chose toute simple et évidente !

Merci encore.