Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 221

Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,
trouvé ceci :
Soit [tex]n[/tex] $\ge 3$ . Discuter l'existence et l'unicité dans la plan d'un polygône à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 253

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

▼Texte caché

Un exemple avec $n=5$ :

$A_1$ est le point fixe d'une transformation ponctuelle composée de deux translations de vecteurs $2\vec{u}$ et $2\vec{v}$ et d'une symétrie centrale par rapport à $M_5$
Il convient de différencier les cas $n$ pair ou impair.
[Edit] Il est très facile de montrer que cette transformation est la symétrie centrale par rapport à $A_1$ (dans le cas impair)

Dernière modification par cailloux (08-04-2026 13:52:56)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 354

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,

Pour $n=5$, il suffit de résoudre le système suivant qui se généralise facilement:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ A_5 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \\ M_5 \end{pmatrix}$

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (06-04-2026 20:05:27)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 875

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir à tous !

Rescassol vient d'écrire à peu près ce que je pense ...

SiMn(xn,yn) sont les milieux, alors soit A(x,y) un point, A1 son symétrique par rapport à M1, A2 le symétrique de A1 par rapport à M2, etc ...

Et soit An symétrique de An-1 par rapport à Mn.

A chaque étape xAi et yAi, de Ai, peuvent s'exprimer en fonction de x et y de A, on aboutit au système d'équations xAn = x et yAn = y.

A résoudre dans chaque cas, c'est la voie que je devrais suivre si j'ai le temps !

En général on devrait trouver une solution unique, sauf disposition spéciale des Mi, à étudier ...

Bonne recherche, Bernard-maths

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 875

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour à tous !

2 cas particuliers :

1) 4 points alignés ... rien, ou ?

2) M2 milieu de M1 et M3, M4 = M2 ... infinité ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-04-2026 07:20:30)

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 253

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Cas $n$ pair par exemple $n=4$ :
Pour qu'il y ait des solutions (et il y en a dans ce cas une infinité) , il faut que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ autrement dit que le quadrilatère $M_1M_2M_3M_4$ soit un parallélogramme.
C'est une réciproque du théorème de Varignon.
[Edit] Dans le cas pair et avec les bonnes conditions sur les $M_i$, la transformation déjà évoquée est l'identité du plan.
Tout ceci coïncide fort heureusement avec les déterminants (nuls cas pair, non nuls cas impair) des matrices de Rescassol.

Dernière modification par cailloux (08-04-2026 14:00:50)

Rescassol

Membre

Lieu : 30610 Sauve

Inscription : 19-09-2023

Messages : 354

Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

Il s'avère que le déterminant de la matrice est nul si et seulement si $n$ est pair, sinon il vaut $2$ (à part pour $n=1$).

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (07-04-2026 09:33:06)