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Zebulor

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Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,
trouvé ceci :
Soit [tex]n[/tex] $\ge 3$ . Discuter l'existence et l'unicité dans la plan d'un polygône à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

▼Texte caché

Un exemple avec $n=5$ :

$A_1$ est le point fixe d'une transformation ponctuelle composée de deux translations de vecteurs $2\vec{u}$ et $2\vec{v}$ et d'une symétrie centrale par rapport à $M_5$
Il convient de différencier les cas $n$ pair ou impair.
[Edit] Il est très facile de montrer que cette transformation est la symétrie centrale par rapport à $A_1$ (dans le cas impair)

Dernière modification par cailloux (08-04-2026 13:52:56)

Rescassol

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir,

Pour $n=5$, il suffit de résoudre le système suivant qui se généralise facilement:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ A_5 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \\ M_4 \\ M_5 \end{pmatrix}$

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (06-04-2026 20:05:27)

Bernard-maths

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonsoir à tous !

Rescassol vient d'écrire à peu près ce que je pense ...

SiMn(xn,yn) sont les milieux, alors soit A(x,y) un point, A1 son symétrique par rapport à M1, A2 le symétrique de A1 par rapport à M2, etc ...

Et soit An symétrique de An-1 par rapport à Mn.

A chaque étape xAi et yAi, de Ai, peuvent s'exprimer en fonction de x et y de A, on aboutit au système d'équations xAn = x et yAn = y.

A résoudre dans chaque cas, c'est la voie que je devrais suivre si j'ai le temps !

En général on devrait trouver une solution unique, sauf disposition spéciale des Mi, à étudier ...

Bonne recherche, Bernard-maths

Bernard-maths

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour à tous !

2 cas particuliers :

1) 4 points alignés ... rien, ou ?

2) M2 milieu de M1 et M3, M4 = M2 ... infinité ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (07-04-2026 07:20:30)

cailloux

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,
Cas $n$ pair par exemple $n=4$ :
Pour qu'il y ait des solutions (et il y en a dans ce cas une infinité) , il faut que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ autrement dit que le quadrilatère $M_1M_2M_3M_4$ soit un parallélogramme.
C'est une réciproque du théorème de Varignon.
[Edit] Dans le cas pair et avec les bonnes conditions sur les $M_i$, la transformation déjà évoquée est l'identité du plan.
Tout ceci coïncide fort heureusement avec les déterminants (nuls cas pair, non nuls cas impair) des matrices de Rescassol.
[Edit1] Je précise au cas où on ne l'aurait pas compris que mon Edit précédent a été écrit après avoir lu le message de Rescassol ci dessous.

Dernière modification par cailloux (16-04-2026 13:10:39)

Rescassol

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Re : Polygône à $n$ côtés

Bonjour,

Il s'avère que le déterminant de la matrice est nul si et seulement si $n$ est pair, sinon il vaut $2$ (à part pour $n=1$).

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (07-04-2026 09:33:06)