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#1 15-01-2026 16:12:33
- gebrane
- Membre
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- Messages : 63
Une somme de cosinus intégral
Je propose ce défi , Démontrer que $$ \sum_{n\ge 1} \text{Ci}(n\pi)=\frac{\ln(2)-\gamma}2$$
Au besoin, on peut utiliser cette égalité $$ \operatorname{Ci}(x)= \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\,dt.$$ https://math-os.com/cosinus-integral/
Cette question est d'actualité dans https://les-mathematiques.net/vanilla/d … nvier-2026
Hors ligne
#2 15-01-2026 23:53:48
- Glozi
- Invité
Re : Une somme de cosinus intégral
Bonsoir,
Je décompose juste mon raisonnement en étapes successives (normalement ça marche même si j'ai fait peut-être fait certains calculs un peu vite...).
Comme dans le premier lien que tu fournis posons $F(x)=\int_0^x \frac{1-\cos(t)}{t}dt$.
Soit $n\geq 1$, regardons ce que vaut $\sum_{k=1}^n Ci(k\pi)$.
1) Montrer que $Ci(k\pi) = \gamma+\ln(\pi)+\ln(k)-F(k\pi)$
2) Montrer comme dans le lien fourni que que $F(k\pi)=A+B_k+C_k$ avec
$A=\ln(\pi)-2\ln(2)$, $B_k = 2\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{2j+1}$, $C_k=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{sin(t)}-\frac{1}{t}\right)\cos(2kt)dt$.
3) En considérant la partie réelle d'une somme d'exponentielles, calculer $\sum_{k=1}^n C_k$.
4) En utilisant des relations trigos du type $\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$ et le Lemme de Riemmann-Lebesgue, calculer la limite de $\sum_{k=1}^nC_k$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
4) En intervertissant deux sommes, exprimer $\sum_{k=1}^n B_k$ à l'aide de $n, H_{2n}$ et $H_n$ (où les $H_i$ sont les nombres harmoniques.
5) À l'aide de la formule de Stirling, donner une développement à un o(1) près de $\sum_{k=1}^n (\gamma+\ln(\pi)+\ln(k)-A)$
6) Conclure à l'aide d'un développement asymptotique approprié sur les nombres harmoniques.
Bonne journée