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On peut attaquer la question avec les transformées de Laplace, comme l’a fait bd2017 sur l’autre forum

Bonsoir,
Je décompose juste mon raisonnement en étapes successives (normalement ça marche même si j'ai fait peut-être fait certains calculs un peu vite...).
Comme dans le premier lien que tu fournis posons $F(x)=\int_0^x \frac{1-\cos(t)}{t}dt$.
Soit $n\geq 1$, regardons ce que vaut $\sum_{k=1}^n Ci(k\pi)$.
1) Montrer que $Ci(k\pi) = \gamma+\ln(\pi)+\ln(k)-F(k\pi)$
2) Montrer comme dans le lien fourni que que $F(k\pi)=A+B_k+C_k$ avec
$A=\ln(\pi)-2\ln(2)$, $B_k = 2\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{2j+1}$, $C_k=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{sin(t)}-\frac{1}{t}\right)\cos(2kt)dt$.
3) En considérant la partie réelle d'une somme d'exponentielles, calculer $\sum_{k=1}^n C_k$.
4) En utilisant des relations trigos du type $\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$ et le Lemme de Riemmann-Lebesgue, calculer la limite de $\sum_{k=1}^nC_k$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
4) En intervertissant deux sommes, exprimer $\sum_{k=1}^n B_k$ à l'aide de $n, H_{2n}$ et $H_n$ (où les $H_i$ sont les nombres harmoniques.
5) À l'aide de la formule de Stirling, donner une développement à un o(1) près de $\sum_{k=1}^n (\gamma+\ln(\pi)+\ln(k)-A)$
6) Conclure à l'aide d'un développement asymptotique approprié sur les nombres harmoniques.

Bonne journée