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Malette_Suspecte

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Théorème de la limite de la dérivée

Bonsoir,

Est-ce que quelqu'un pourrait me clarifier le théorème dit "de la limite de la dérivée" : 

Soit f continue sur I, dérivable sur I \ {a} et telle que f' admette une limite l finie en a. Alors :
lim ( f(x) - f(a) ) / (x-a) = l

En fait je ne comprends pas ce que dit exactement ce théorème. On suppose que f' admet une limite finie l en a et on en conclut que le taux d'accroissement (f(x) - f(a) / x-a ) admet lui aussi cette limite l... Mais j'ai l'impression qu'on répète juste la même chose.

Pour moi " lim f' = l en a" et "lim f(x) - f(a) / x-a = l pour x tend vers a " c'est exactement la même chose. Je sais que je me trompe mais je n'arrive pas à savoir pourquoi.

Merci à vous.

Michel Coste

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Bonsoir,
Non, ça ne dit pas la même chose. La première propriété dit que la dérivée de $f$ a une limite en $a$., la deuxième que $f$ est dérivable en $a$. Le théorème est que la première propriété entraîne la deuxième, et que la dérivée en $a$ est alors la limite de la dérivée. Ce n'est pas un théorème évident. mais il se démontre assez facilement avec le théorème des accroissements finis.
Mais tu peux avoir une fonction dérivable en $a$ sans que la dérivée ait une limite en $a$. Regarde l'exemple de la fonction $f : x\mapsto x^2\sin(1/x)$ et $f(0)=0$ en $a=0$.

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Bonsoir,

Pour moi " lim f' = l en a" et "lim f(x) - f(a) / x-a = l pour x tend vers a " c'est exactement la même chose.
.

Pourtant c'est différent dans le cas général.
Exemple :

\[
f(x) =
\begin{cases}
1 & x \neq a\\
0 & x = a
\end{cases}
\]
$f$ est bien dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{a\}$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} f'(x) = 0$, mais $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ n'existe pas (limite à gauche différente de la limite à droite).

Tu as oublié l'important : $f$ doit être continue.

edit : correction de l'exemple.

Dernière modification par Reouven (15-12-2025 22:26:07)

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Tu peux aussi avoir une compréhension un peu trop naïve de la notion de limite.
Dans ma fonction, par exemple, que vaut $\displaystyle \lim_a f(x)$ ?
En langage naturel, c'est la valeur vers laquelle tend $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$, mais avec $x \ne a$, et c'est très important.
Ici c'est donc $\displaystyle \lim_a f(x) = 1$ (et non $0$).

Michel Coste

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Ce qu'écrit Reouven ne va pas :
1°) L'hypothèse de continuité de $f$ est bien présente dans l'énoncé formulé par Malette_Suspecte
2°) La définition de limite qu'il utilise n'est pas celle utilisée actuellement. Voir par exemple  la définition sur ce site.
La fonction $f$ de Reouven  n'a pas de limite en $a$ au sens de cette définition.

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

1) je sais bien que la continuité est précisée dans le théorème mais justement, il me semble que puisque l'auteur, dans l'explication de ce qu'il ne comprend pas, semble avoir oublié de la rappeler, il n'avait pas compris son importance.

2) En effet.

Dernière modification par Reouven (16-12-2025 10:11:07)

bridgslam

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Bonjour,

@Reouven

- Malette a bien précisé l'hypothèse de continuité, pourquoi veux-tu qu'il le répète 36 fois?

- ta définition de la limite est celle de limite pointée (ou épointée je ne sais plus), a étant vu comme un point d'accumulation de l'ensemble de départ plutôt que comme point adhérent) invoquée dans des ouvrages plus anciens ( Warusfel Terminale série Aleph je crois,  voire Couty Ezra aussi pour le supérieur il me semble aussi...). La définition acuelle est celle mentionnée par Michel Coste.
En termes de bases de filtres (sur un plan plus large), ça revient pour chaque notion à considérer des bases de filtres distinctes, pour la petite histoire.
Je crois qu'un lien détaillé ( Daniel Perrin) avait été donné sur ce forum, sur les nuances de définitions possibles sur cette question (avantages/inconvénients à l'appui).

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Avec la définition du site, de limite, en effet, $f$ n'a pas de limite en $a$ (et on a même $\displaystyle \lim_{a-} f(x) = +\infty$ et  $\displaystyle \lim_{a+} f(x) = -\infty$).

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

@bridgslam je ne veux pas qu'il le répète 36 fois : comme tout un chacun (et c'est heureux), il a le droit de faire ce qu'il veut.

J'ai juste compris que pour lui :

" lim f' = l en a" et "lim f(x) - f(a) / x-a = l pour x tend vers a " c'est exactement la même chose .

même si $f$ n'est pas continue en $a$, ce qui est une erreur, comme l'illustre l'exemple donné.

Dernière modification par Reouven (16-12-2025 10:37:44)

DeGeer

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

On avait discuté de la distinction entre limite pointée ou épointée ici, et j'avais donné un lien vers l'article de Daniel Perrin.

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

Et pour ce qui concerne la discussion, la conclusion était, si je me souviens bien, que ça ne changeait pas grand chose : quelque soit la définition prise, le théorème discuté ne change pas (et quelque soit la définition de limite, on obtient la même chose pour la continuité ou non d'une fonction).

Dernière modification par Reouven (16-12-2025 12:58:22)

Reouven

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Re : Théorème de la limite de la dérivée

À relire, en y re-réfléchissant et en lisant la réponse #2, je pense avoir été hors sujet par rapport à la question.
La réponse attendue était sans doute bien #2. L'exemple de Michel Coste est dans le sens exact de ce que dit le théorème. En plus, le "on suppose ... mite finie l" de l'énoncé ne m'a pas fait tilter que c'était explicitement une implication. L'aspect de la continuité était fixé, lui, dès le départ. J'avais mal lu.

Dernière modification par Reouven (17-12-2025 01:13:40)