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Mohamed blchi

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Continuité en un point et limite

Bonjour ، j'espère que tout le monde va très très bien, ma question cest , pour la définition de la continuité en un point, cest lim x--->a f(x) = f(a),,

Dans cette définition, est ce quon utilise liimite épointée ????

M,erci  , mille fois Bibmath
Merci bien

bridgslam

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Re : Continuité en un point et limite

Bonjour

Définition pointée:
Ta définition est redondante car alors l=f(a) forcément.
C'est la continuité en a.

Définition épointée:
Ce n'est pas redondant, mais:
- comme f est bien définie en a
- que l vaut f(a)

on en revient à l'autre définition ( où on peut supprimer l= f(a) , inutile dans la définition pointée).

Plus généralement, la notion de limite est basée sur celle de base de filtre, et elle est relative à une base de filtre donné ( ensemble de parties particulier de l'ensemble de départ).
Les notions pointé et épointé correspondent à deux bases de filtres distincts: l'ensemble des voisinages de a, ou l'ensemble des voisinages de a privés de ce point.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (24-09-2025 09:01:57)

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DeGeer

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Re : Continuité en un point et limite

Bonjour
Les deux définitions (pointée ou épointée) se valent. L'important est de rester cohérent. Si tu es étudiant, tu dois te référer à la définition de ton cours.
Notamment, avec la définition "pointée", la limite ne peut être que $f(a)$, mais rien ne dit que cette limite existe.
Il y a un petit article intéressant de Daniel Perrin sur la question.

bridgslam

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Re : Continuité en un point et limite

Bonjour,

L'existence de la  limite (épointée) d'une fonction en un point ( dans les contextes topologiques habituels, unicité etc  ) peut aussi être définie après celle de la continuité, par prolongement. C' est ce que faisait par exemple la série des livres Aleph /Warusfel de lycée, avec d'ailleurs un soupçon de topologie de $\mathbb{R}$.
L'idéal pour répondre plus précisément à la demande de Mohamed serait de savoir  quelles sont les définitions de son cours.
Dans les échanges du site, le contexte précis fait souvent défaut, pourtant les réponses en seraient probablement meilleures.

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