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Provençal le Gaulois

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Grand oral et théorème hors programme

Bonjour à tous,

Je suis en train de revoir mon grand oral de maths qui sera sur le calcul de l'aire des surfaces courbes. Jusqu'à présent, j'ai réussi à faire avec le programme de terminale, mais récemment, j'ai vu qu'une partie de mes calculs se justifiait à l'aide du théorème des accroissements finis.

Voilà le calcul en question : [tex]\lim_{k \to +\infty} \frac{f_t(\frac{n}{k}+\frac{1}{k})-f_t(\frac{n}{k})}{\frac{1}{k}}[/tex]
Pour ma formule finale, je le remplace par [tex]f_t'(x)[/tex]...

(Précisions : dans une autre partie du calcul, on a [tex]n=x\times{k}[/tex], donc [tex]\frac{n}{k}[/tex] ne change pas de valeur et [tex]f_t[/tex] n'a pas d'expression pour garder le tout très général)

Le problème (mis à part le fait que je n'ai pas le droit d'utiliser le théorème dans ma présentation), c'est que j'ai du mal à voir en quoi mon calcul est différent du calcul d'un nombre dérivé et donc n'est pas justifiable comme étant ce calcul d'un nombre dérivé...

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer d'où vient le problème ?

Merci d'avance pour vos réponses !

DeGeer

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Bonjour
Difficile de répondre sans informations sur $f_t$.

Eust_4che

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Bonjour à tous et à toutes,

Je ne comprend pas ce qu'est $n/k$. Il s'agit d'un nombre ou on parle d'une suite $(n/k)_k$ ? Si $x = n/k$ et si $f_t$ est dérivable au point $x$, tu obtiens le taux d'accroissent infinitésimal de $f_t$ au point $x$, c'est-à-dire $f'_t(x)$.

Je ne sais pas quelle est la définition retenue en Tle d'une limite d'une fonction ou de la dérivée, mais si tu prouves que "$Q(y)$ tend vers $Q(x)$ quand $y$ tend vers $x$" où $Q$ est une fonction "quantité" arbitraire, tu as aussi "$Q(y_n)$ tend vers $Q(x)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et quand $y_n$ tend vers $x$". Et Tu retrouves ta situation en prenant $Q$ telle que $Q(y) = f(x + y) - f(x)/y$ pour $y \neq 0$ et $Q(y) = f'(x)$ quand $y = 0$.

E

Provençal le Gaulois

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Bonsoir !

Dans l'idéal, la formule devait pouvoir s'appliquer à n'importe quelle [tex]f_t[/tex] dérivable, par exemple, dans mon exemple final, c'était [tex]f_t(x)=sin(x)+sin(\frac{t}{k})[/tex], [tex]\frac{t}{k}[/tex] remplace le y d'une fonction de deux variables.

J'essaye de calculer la longueur d'une courbe représentative de [tex]f_t[/tex] entre [tex]x_a[/tex] et [tex]x_b[/tex] avec le théorème de Pythagore, où la longueur serait la somme de "longueurs élementaires" calculées comme ça :
[tex]\sqrt{1+(\frac{\Delta z}{\Delta x})^2}\times \Delta x=\sqrt{1+(\frac{f_t(\frac{n}{k}+\frac{1}{k})-f_t(\frac{n}{k})}{\frac{1}{k}})^2}\times \Delta x=\sqrt{1+f_t'(x)^2} dx[/tex].

Mais le passage de la deuxième à la troisième expression semble moins évident qu'il en a l'air...

C'est une version un tout petit peu modifiée de ça :

(Calculs de longueurs [L'intégrale simple] - uel.unisciel.fr)

DeGeer

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Si la fonction a deux variables, on ne peut pas parler de dérivée, mais de différentielle et de dérivées partielles (suivant chaque variable), mais c'est très largement au-dessus du programme de Terminale.
Si $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ est dérivable sur $[a,b]$ alors la longueur de sa courbe représentative est $\int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}dt$, ce qui est un cas particulier de la longueur d'un arc paramétré $\gamma$, qui vaut quand $\gamma$ est dérivable $\int_a^b ||\gamma'(t)||dt$, quand on prend $\gamma(t)=(t,f(t))$.

Provençal le Gaulois

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Merci pour vos réponses !

Bonjour à tous et à toutes,

Je ne comprend pas ce qu'est $n/k$. Il s'agit d'un nombre ou on parle d'une suite $(n/k)_k$ ? Si $x = n/k$ et si $f_t$ est dérivable au point $x$, tu obtiens le taux d'accroissent infinitésimal de $f_t$ au point $x$, c'est-à-dire $f'_t(x)$.

Je ne sais pas quelle est la définition retenue en Tle d'une limite d'une fonction ou de la dérivée, mais si tu prouves que "$Q(y)$ tend vers $Q(x)$ quand $y$ tend vers $x$" où $Q$ est une fonction "quantité" arbitraire, tu as aussi "$Q(y_n)$ tend vers $Q(x)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et quand $y_n$ tend vers $x$". Et Tu retrouves ta situation en prenant $Q$ telle que $Q(y) = f(x + y) - f(x)/y$ pour $y \neq 0$ et $Q(y) = f'(x)$ quand $y = 0$.

E

[tex]\frac{n}{k}[/tex] est bien un nombre ; il vient d'une somme : le calcul complet est [tex]l=\lim\limits_{k\to +\infty} \Large \sum\limits_{n=x_a\times k}^{x_b\times k} \large \sqrt{1+\left(\frac{f_t\left(\frac{n+1}{k}\right)-f_t\left(\frac{n}{k}\right)}{\frac{1}{k}}\right)^2} \frac{1}{k}[/tex]
Pour la limite et la dérivée, c'est bien à ça que je pensais, mais apparemment, ça ne marche pas aussi bien dans mon cas...

Si la fonction a deux variables, on ne peut pas parler de dérivée, mais de différentielle et de dérivées partielles (suivant chaque variable), mais c'est très largement au-dessus du programme de Terminale.
Si $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ est dérivable sur $[a,b]$ alors la longueur de sa courbe représentative est $\int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}dt$, ce qui est un cas particulier de la longueur d'un arc paramétré $\gamma$, qui vaut quand $\gamma$ est dérivable $\int_a^b ||\gamma'(t)||dt$, quand on prend $\gamma(t)=(t,f(t))$.

Pour les deux variables, j'ai essayé de contourner le problème avec les fonctions [tex]f_t[/tex] : t et k sont des paramètres constants pour chaque [tex]f_t[/tex], donc j'évite d'avoir à parler de dérivées partielles.
[tex]\int_{x_a}^{x_b} \sqrt{1+f_t'(x)^2}dx[/tex] est bien l'expression que j'essaye d'obtenir à partir de la somme, mais le passage de [tex]\large \frac{dz}{dx}[/tex] à [tex]f_t'(x)[/tex] semblait poser problème.

triop

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Salut, c'est en effet au delà du programme de terminale. dans une dérivée on écrit f(x+h) - f(x) au numérateur, où x ne dépend pas de h, il est fixe. Chez toi x = n/k dépend de k, donc ce n'est pas pareil. Difficile de se passer du TAF dans ton cas.

Provençal le Gaulois

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Re : Grand oral et théorème hors programme

Bonsoir,

Salut, c'est en effet au delà du programme de terminale. dans une dérivée on écrit f(x+h) - f(x) au numérateur, où x ne dépend pas de h, il est fixe. Chez toi x = n/k dépend de k, donc ce n'est pas pareil. Difficile de se passer du TAF dans ton cas.

Bon... je vais essayer de garder ça pour les questions alors !

En tout cas, merci d'avoir pris le temps de me répondre,
et bonne soirée à tous !