Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Gaïa

Invité

Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour,

J'essaye de trouver comment faire le lien entre la définition du cosinus, sinus, et tangente qu'on donne au collège (à savoir par exemple cosinus(angle)=coté adjacent/côté opposé) et la définition du cosinus et sinus donné sur un cercle trigonométrique.

Je comprends qu'il s'agit d'étendre la définition à des angles non pas uniquement aigus mais je ne fais pas bien le lien entre les deux.

Je serais preneuse pour un peu d'aide ;)
Merci beaucoup

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Gaïa,
Je vais essayer de t'aider :
Commençons par un point M situé sur le cercle trigonométrique, de rayon 1 par convention, dont le centre O est l'origine du repère orthonormé classique (Ox, Oy), dans ce qu'on appelle le premier quadrant, c'est-à-dire le quart de cercle supérieur du côté droit, puisque l'origine des "abscisses circulaires" sur le cercle est encore par convention, le point A de coordonnées (1, 0) et que le sens "positif" de parcours du cercle est, toujours par convention, le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. Appelons en outre Hx et Hy les points projections orthogonales respectives du point M sur les axes Ox et Oy. On définit le cosinus de l'angle AOM comme le rapport OHx/OM, c'est-à-dire, dans le triangle OHxM rectangle en Hx, le rapport de la longueur du côté OHx adjacent à l'angle HxOM (identique à l'angle AOM) à la longueur de  l'hypoténuse OM. D'accord ? Bien. Donc, l'axe des x représente "l'axe des cosinus". Le sinus de l'angle AOM, lui, est défini comme le rapport HxM/OM, c'est-à-dire, dans le même triangle OHxM, le rapport de la longueur du côté HxM opposé à l'angle HxOM à la longueur de  l'hypoténuse OM. Mais étant donné que le quadrilatère OHxMHy est un rectangle, les côtés opposés OHy et MHx de ce rectangle sont égaux, le sinus de l'angle AOM est donc aussi égal au rapport OHy/OM, et l'on peut dire que l'axe des y représente "l'axe des sinus". Toujours d'accord ? Bien. Continuons : Faisons bouger le point M sur le cercle, en partant du point A : il est évident que, jusqu'à ce qu'il arrive en B, le "point haut" du cercle, l'abscisse du point Hx, autrement dit le cosinus de l'angle AOM, va rester positif, tout en diminuant au fur et à mesure. Quand M est en B, l'angle M devient droit, le point Hx se confond avec le point O : le cosinus d'un angle droit vaut zéro. Si M dépasse ce point B, il entre dans "le deuxième quadrant" le quart de cercle supérieur du côté gauche, et l'angle AOM devient obtus : alors, Hx dépasse O vers la gauche, autrement dit, son abscisse devient négative, et le cosinus de l'angle AOM devient lui aussi négatif. Par contre, quand M se trouve dans ce deuxième quadrant, sa projection Hy sur l'axe vertical reste au-dessus de O, comme quand M se trouvait dans le premier quadrant : donc, son sinus est encore positif. Pour que le sinus de l'angle AOM devienne négatif, il faut attendre que le point M passe dans le "troisième quadrant", autrement dit, qu'il dépasse, dans son parcours sur le cercle, le point à l'extrême gauche du cercle (point où le sinus vaut zéro) et qu'il entame son retour vers le côté droit ...
Je te laisse vérifier que l'on peut résumer les choses de la manière suivante :
premier quadrant, angle aigu positif : cosinus positif décroissant de +1 à 0, sinus positif croissant de 0 à +1 ;
deuxième quadrant, angle obtus positif : cosinus négatif décroissant de 0 à -1, sinus positif décroissant de +1 à 0 ;
troisième quadrant (en bas à gauche), angle obtus négatif : cosinus négatif croissant de -1 à 0, sinus négatif décroissant de 0 à -1 ;
quatrième quadrant (en bas, à droite), angle aigu négatif : cosinus positif croissant de 0 à +1, sinus négatif croissant de -1 à 0.
Dans les troisième et quatrième quadrants, les angles sont considérés comme étant négatifs,  car le point M peut aussi, partant de A, y arriver en allant sur le cercle dans le sens des aiguilles d'une montre, sens négatif sur le cercle trigonométrique.
Je reviendrai plus tard pour la tangente, là j'ai une réunion.
Bien cordialement, JLB

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Gaïa, bonjour JLB !

J'ai cogité depuis hier, et je vois que JLB aussi, on va sans doute tourner autour des mêmes principes ...

L'idée est de partir d'un triangle rectangle AOM, complété en rectangle AOCM ... d'hypoténuse OM = 1 dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan. On voit en rouge et vert les cosinus et sinus de l'angle AOM. On constate que cos = mesure algébrique de OA, et que sin = mesure algébrique de OC, sur les axes.

Ensuite on prolonge la figure avec le cercle trigo entier. On déplace le point M sur le cercle et on peut prolonger le cos et le sin par les mesures algébriques de OA et OC ...
Si on trace la tangente en A au cercle trigo, on peut calculer tan(OA,OM) = mes algébrique de IT, car les triangles AOM et IOT sont semblables, et tan = IT = IT/1 = IT/OI = AM/OA = sin/cos !

On peut suivre les changements de signes de cos, sin et tan suivant la position de M sur le cercle, et même suivre les variations ...

Voilà une approche possible pour étendre les notions triangulaires au cas général ...

Bernard-maths

PS j'ai le programme GeoGebra, mais je n'arrive pas à me connecter sur cjoint.com pour le transmettre !

Dernière modification par Bernard-maths (26-05-2025 16:29:58)

Gaïa

Invité

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour à tous les deux,
Un grand merci pour ces explications !!
Je trouve cela très visuel et très précis. Je vois bien le lien qui est donc fait.
J'ai fait la figure de mon côté pour m'en convaincre donc pas besoin de transmettre le fichier ggb mais les images m'ont été d'une grande aide lors de la lecture de vos explications.
Encore merci !
Cordialement,
Gaïa

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir Gaîa, Bonsoir Bernard,
Je suis de retour pour la tangente, mais je crois bien, Gaïa, au vu de ton message ci-dessus, que tu as déjà tout compris et bien compris, pour la tangente comme pour les cosinus et sinus ...
En effet, les figures de Bernard sont un plus par rapport à mon laïus : je n'ai pas encore intégré la procédure à suivre, sur ce site, pour joindre des images à un message ...
Pour ce qui est de la tangente, j'ajouterai un point qui me semble important à souligner : le fait que, quand le point M parcourt le demi-cercle du côté droit, soit ce que j'ai appelé les quatrième et premier quadrants, en partant du point "en bas" du cercle, le point T des figures de Bernard parcourt toute la tangente verticale de bas en haut, et la tangente de l'angle AOM varie ainsi de "moins l'infini" à "plus l'infini". Et quand le point M, après avoir atteint le point "en haut" du cercle, poursuit sa course dans le demi-cercle du côté gauche, le point T sur la tangente repart d'en bas dans le même sens, de bas en haut. La fonction tangente est une fonction discontinue, contrairement aux fonctions sinus et cosinus.
Bien cordialement, JLB.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour à tous !

On peut suivre les variations avec les traces des points P pour cos, Q pour sin et R pour tan :

Bernard-maths

PS : j'ai mis le programme sur GeoGebra, voici le lien :

https://www.geogebra.org/m/tqp5hqnk

Ne pas oublier d'activer le suivi de trace des 3 points P, Q et R !

Dernière modification par Bernard-maths (27-05-2025 09:56:48)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Gaïa, JLB, Bernard, bonjour tout le monde

La figure ci-dessous visualise la tangente trigonométrique :

Lorsque le point M s'approche du point haut du cercle "par la droite", le point d'intersection de la droite (OM) avec l'axe tangent au cercle part "dans les choux" vers $+ \infty$.

Lorsque le point M s'approche du point haut "par la gauche", la droite (OM) est "descendante", et le point d'intersection avec l'axe à droite part dans les choux vers $- \infty$.

Le raisonnement est identique vis-à-vis du point bas du cercle :
Si M tend vers ce point "par la droite", le point d'intersection de (OM) avec l'axe à droite tend vers $- \infty$.
Si M tend vers ce point "par la gauche", le point d'intersection de (OM) avec l'axe à droite tend vers $+ \infty$

PS à l'intention de JLB : Pour placer une figure dans un message, il faut passer par l'hébergeur d'images zupimages.net.

PPSS : J'ai découvert le message de Bernard en validant le mien.

Dernière modification par Borassus (27-05-2025 11:14:10)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir,

En fait, le cercle trigonométrique limité aux seuls cosinus et sinus est très incomplet.
Voici donc le cercle trigonométrique complet :

PS : Je m'amuse parfois à faire démontrer les différentes longueurs à des élèves de Troisième. Au fou !!!

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir Borassus,

C'est une jolie figure... merci pour le partage !

Roro.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Hello !

Avez-vous essayé ma figure ?

(;-) ...

L'envoi sur GeoGbra est une option pour les programmes et figures.

B-m

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir Brenard-maths,

Avez-vous essayé ma figure ?

Oui, elle est jolie aussi :-p
Mais disons que ça m'a paru plus classique (je ne fréquente pas souvent les cosécantes c'est pour cela que j'étais content de les trouver sur la figure de Borassus).
Et en plus la tienne est dynamique. Si tu rajoutes la sécante et la cosécante, ce sera sans doute le top !!!

Roro.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Hello everybody,

Petite précision concernant ma (jolie :-) figure :

l'axe de la tangente a pour origine le point $(1 \,,\, 0)$ et orienté positivement vers le haut ;

l'axe de la cotangente a pour origine le point $(0 \,,\, -1)$ et est orienté positivement vers la gauche.

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Borassus,
Ton dessin aurait été encore plus joli (et complet) en y faisant figurer la tangente en $M$ au cercle trigonométrique et ses points d'intersection avec les axes.
J'ajoute que traditionnellement, pour ne pas avoir des axes orientés à droite, à gauche, celui de la cotangente est plutôt le symétrique du tien par rapport au centre du cercle trigonométrique.

Dernière modification par cailloux (28-05-2025 15:10:47)

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir à tous,
Bernard-maths, apparemment, tu ne t'es pas encore aperçu de la bourde que tu as faite par inattention dans ton premier message (#3 dans cette discussion) : les deux dernières de tes figures dans ce message sont identiques, l'une d'elles ayant pris la place du cas "point M dans le quatrième quadrant" ... 
Bien amicalement, JLB

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

Voici la seconde version en utilisant la tangente en $M$, comme tu le préconises, et en utilisant pour l'axe de la cotangente la droite symétrique à la première.

C'est une autre vision, dont l'intérêt réside dans ce que le cosinus et son inverse (la sécante), d'une part, et le sinus et son inverse (la cosécante), d'autre part, sont portés par le même axe.

Sondage : Quelle vision préférez-vous ?

cailloux

Membre

Inscription : 21-09-2023

Messages : 251

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Je n'avais pas remarqué que sécante et cosécante figuraient sur ta figure; honte à moi !

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Tu es tout excusé !  :-)

PS : Je m'amuse parfois à faire démontrer les différentes longueurs à des élèves de Troisième. Au fou !!!

J'ai fait mieux aujourd'hui : en guise d'exercice d'application du théorème de Thalès, j'ai fait calculer les rapport à mon élève de 4ème préféré sur un cercle de rayon R (je lui avais préalablement rappelé les trois rapports cosinus, sinus et tangente) :

On trouve — amis élèves, je vous conseille de vous amuser à retrouver les résultats — :

$OP = R^2 \times \dfrac 1 {OK} = R \times \dfrac 1 {\cos \, \alpha}$

$AP = R \times \dfrac {OL}{OK} = R \times \tan \, \alpha$

$OF = R^2 \times \dfrac 1 {OL} = R \times \dfrac 1 {\sin \, \alpha}$

$BF = R \times \dfrac {OK} {OL} = R \times \dfrac 1 {\tan \, \alpha}$

Important :   A propos de la multiplication par $R$, il faut bien comprendre, chers élèves, que les valeurs $\dfrac {\sqrt 3}{2}$ , $\dfrac {\sqrt 2}{2}$ , $\dfrac {1}{2}$  ne valent que pour un cercle de rayon 1.

Pour un cercle de rayon $R$, il faut tout simplement multiplier toutes les valeurs par $R$.

Pour illustrer cela, je vous propose de placer précisément à la règle et au compas le point de coordonnées $\left( 2 - \dfrac{\sqrt 3}{2} \,,\, 2 + \sqrt 2  \right)$

Dernière modification par Borassus (28-05-2025 22:45:01)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour à tous,

Toujours à propos de la multiplication des rapports trigonométriques par $R$ :
sur la figure ci-dessus,  $OK = R \times \cos \, \alpha$ , et  $OL = R \times \sin \, \alpha$.

Etant le rapport de deux longueurs — dans un triangle rectangle, cosinus = côté adjacent sur hypoténuse ; sinus = côté opposé sur hypoténuse —,   cos, sin, tan, etc. sont des nombres sans dimension.

Les écritures  $OK = R \times \cos \, \alpha$ , et  $OL = R \times \sin \, \alpha$ représentent donc bien des égalités cohérentes en termes de dimensions : une longueur est égale à une longueur multipliée par un nombre sans dimension.

Par contre, écrire, sous prétexte que $R = 1$,  $x = \cos \, \alpha$  et  $y = \sin \, \alpha$  revient à introduire une incohérence : une longueur est égale à une nombre sans dimension.

L'écriture correcte devrait donc être $x = 1 \times \cos \, \alpha$  et  $y = 1 \times \sin \, \alpha$ , avec $1$ ayant une dimension de longueur.

Bonne première journée de pont.

PS : Dans la même logique, écrire  $y = x^2$  ou  $y = x^3$, c'est écrire qu'une longueur est égale à une aire ou à un volume ! 
Comme quoi, tout neutre pour la multiplication qu'il soit, $1$ n'est pas si neutre que cela...  :-)

Dernière modification par Borassus (30-05-2025 11:40:23)

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Borassus,
Eh oui, toujours l'ambiguïté entre signifiant (symbole ou chiffre) et signifié (objet ou nombre) ...
Le signe "=" est décidément trompeur !
Bien amicalement, JLB

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir cher JLB, bonsoir à tous,

Merci de cette réflexion philosophique qui m'a fait penser au célèbre tableau de Magritte "la Trahison des images" avec pour légende « Ceci n'est pas une pipe ».

Pour continuer sur cette lancée, dans l'équation de parabole $y = x^2 + x + 1$, le $1$ implicite de $x^2$ a une dimension $L^{-1}$ ; le $1$ implicite de $x$ est un nombre sans dimension, et le $1$ explicite de la constante a pour dimension $L$.

De même, dans l'équation $y = x^3 + x^2 + x + 1$, le $1$ de $x^3$ a une dimension $L^{-2}$, etc.

Bien amicalement en retour,
Borassus

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonsoir,

C'est un peu étrange de vouloir donner des dimensions dans toutes les équations, comme par exemple dans $y=x²+1$.

La plupart du temps, quand on veut travailler correctement avec un système physique, on écrit d'abord des égalités avec des grandeurs physiques (rarement la valeur 1), puis on adimensionne pour en déduire une égalité sans dimension sur laquelle on peut faire des maths sans se poser ces questions.

Ainsi, pour étudier le système physique typique de l'élongation d'un ressort, de la forme
$$mx''(t)=-kx(t)$$
où $x(t)$ est une longueur ($m$), $t$ un temps ($s$), $m$ et $k$ deux constantes physiques (la première est la masse (kg), la seconde une constante d'un ressort ($s^{-1}$)), je préfère définir les grandeurs sans dimension :
$$X=x/\chi, \quad T=t/\tau \quad \text{et} \quad K=k\tau^2/m\chi$$
où $\chi$ est une longueur caractéristique et $\tau$ un temps caractéristique. On a alors à étudier
$$X''(T) = -KX(T).$$
C'est parfois intéressant de conserver les paramètres physiques pour s'assurer au cours des étapes de la "validité" de ce qu'on écrit, mais c'est très rare que les coefficients physiques soient des valeurs entières. Il ne faut pas tout mélanger, on a des problèmes physiques qu'on peut étudier en tant que tel, ou en les ré-écrivant sous forme sans dimension, mais on peut aussi s'intéresser à un problème de maths sans dimension ne serait-ce que pour comprendre des méthodes et principes mathématiques.
Ce n'est rien que mon point de vue !

Roro.

Dernière modification par Roro (30-05-2025 23:09:07)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Entendons-nous bien : mes remarques portent UNIQUEMENT sur l'utilisation d'un repère.
Les coordonnées d'un point correspondent alors à des distances par rapport à l'origine, et ont donc une dimension de longueur.

Je rappelle qu'un très grand nombre d'exercices, notamment de géométrie dans l'espace, demandent de calculer dans un repère orthonormé des longueurs, des aires, des volumes, des distances d'un point à une droite ou d'un point à un plan, demandent de démontrer que tel triangle est rectangle ou isocèle (ou les deux), etc.

Ce que j'écris, c'est qu'à partir du moment où on raisonne dans un repère, les coefficients, même implicites et égaux à $1$, ne sont pas des nombres abstraits mais ont bien une dimension, dont, certes, on ne se rend pas toujours compte.

Donc, dans $y = x^2 + x + 1$, il faut sommer des longueurs, et non sommer une aire, une longueur et un nombre !
(On dit bien que la constante $1$ est l'ordonnée à l'origine, qui correspond à la distance entre l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées et l'origine.)

Dernière modification par Borassus (31-05-2025 09:47:12)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Bonjour,

Je ne suis pas vraiment d'accord avec le fait que dès qu'on a un repère, on doit travailler avec des longueurs dimensionnées.
Dans ce cas, quel sens donner par exemple aux coordonnées du graphe de la fonction exponentielle ?

Lorsqu'on trace l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $y=\mathrm e^x$ comment donner le sens d'une longueur à $y$ si $x$ est en mètres ? (sauf si on adimensionne...)

Bref, pour moi, sauf cas très particulier, un repère n'a pas de dimension.

Roro.

Dernière modification par Roro (31-05-2025 12:41:46)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

L'exponentielle, tout comme le logarithme ou toute autre fonction, est une nombre sans dimension.

Je vois donc l'expression $y = e^x$ comme étant $y = 1 \times e^x$, le coefficient $1$ ayant pour dimension une longueur, et $e^x$ signifiant "exponentielle  de la valeur $x$".

Si un repère est sans dimension, quel sens ont alors les exercices demandant de calculer une distance, une aire, ou un volume ? (Il y en a plein en Terminale.)

Je reviens à ma remarque initiale :  $x= \cos \alpha$ et $y = \sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 1,  alors que $x= 2\cos \alpha$ et $y = 2\sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 2.
Il ne me semble pas qu'un cercle soit une entité sans dimension.

Dernière modification par Borassus (31-05-2025 13:52:39)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Lien trigo dans le triangle rectangle et sur le cercle trigo

Re-bonjour,

Je n'ai pas envie de me lancer dans un long débat car j'ai l'impression d'avoir dit ce que j'avais déjà en tête mais je ré-itère : pour moi, il y a deux cas de figure :

1/ le repère est sans dimension (x et y sont sans dimension) et on étudie des grandeurs sans dimension, donc par exemple la fonction de graphe $\{(x,y)~;~ y= sin(x)\, \mathrm{exp}(1+x²)\}$.

2/ chaque axe du graphe représente une quantité dimensionnée et dans ce cas, les équations qui m'intéressent sont aussi dimensionnées et on écrira rarement $\mathrm{exp}(x)$ dans ce cas. Lorsque les quantités sont des longueurs, on préfèrera par exemple $\mathrm{exp}(x/L)$ ou $\mathrm{exp}(\lambda \, x)$, $L$ et $\lambda$ étant des paramètres physiques exprimés en $m$ ou $m^{-1}$.

Par exemple pour déterminer l'aire d'un disque (objet géométrique) de rayon $R$ (en mètre), on calculera $2\int_0^R \sqrt{1-(x/R)²} \, \mathrm dx$... et généralement on fait un changement de variable ($y=x/R$) pour se ramener à un problème sans dimension !

Il existe surement plein d'exercices de lycée qui demande de faire des calculs sans réfléchir au dimension mais il doit falloir voir ça comme des exercices d'apprentissage. D'après mon expérience, mélanger les maths et la physique à tout prix et partout n'est pas toujours très pédagogique.

Roro.