Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Roro, bonsoir tout le monde,

C'est  effectivement ce que j'ai compris au moment de partir rendre visite à une amie.

Quand on souhaite simplement visualiser une fonction, la logique du couple $(x\,,\,y)$ prédomine.

A partir du moment où on raisonne sur des objets géométriques (droites, triangles, cercles, parallélogrammes, parallélépipèdes, cylindres, cônes, pyramides, tétraèdres...), la logique qui prédomine est celle de longueurs, les unités étant les normes des vecteurs unitaires. (Il n'est pas nécessaire de leur attribuer des unités S.I., ou autres.)

Cas particulier intéressant, celui de la parabole :

• Si la parabole est définie par sa seule équation $y = ax^2 + bx + c$,  on est dans la logique de visualisation d'une fonction, et mes considérations sur la dimension des coefficients n'ont effectivement pas de sens.

• Si la parabole est définie en tant qu'objet géométrique par son foyer et sa directrice (par exemple $F(0, \frac 1 4)$ et $y = - \frac 1 4$, de la même façon qu'un cercle est défini par son centre et son rayon), ce que je ne vois jamais, sa visualisation relève de la géométrie, et la logique devant être appliquée est celle des longueurs.

La frontière entre les deux logiques n'est pas toujours si bien tracée :
Lorsque, par exemple, un exercice demande, après l'étude détaillée d'une fonction, de calculer l'aire, en unités d'aire, entre la courbe représentant la fonction, l'axe des abscisses, et deux bornes $\alpha$ et $\beta$ (ou entre deux courbes), l'exercice se place d'abord dans la logique de visualisation d'une fonction, puis passe dans la logique géométrique des longueurs...

Merci donc, Roro, d'avoir une fois de plus consolidé ma compréhension de fond !
(Je répercute presque toujours mes compréhensions acquises grâce à vous ; vous contribuez donc, à travers moi, à la consolidation des compréhensions de mes élèves. Merci pour eux, et merci pour moi !)

L'exponentielle, tout comme le logarithme ou toute autre fonction, est une nombre sans dimension.

Je vois donc l'expression $y = e^x$ comme étant $y = 1 \times e^x$, le coefficient $1$ ayant pour dimension une longueur, et $e^x$ signifiant "exponentielle  de la valeur $x$".

Si un repère est sans dimension, quel sens ont alors les exercices demandant de calculer une distance, une aire, ou un volume ? (Il y en a plein en Terminale.)

Je reviens à ma remarque initiale :  $x= \cos \alpha$ et $y = \sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 1,  alors que $x= 2\cos \alpha$ et $y = 2\sin \alpha$ signifient les coordonnées d'un point du cercle de rayon 2.
Il ne me semble pas qu'un cercle soit une entité sans dimension.

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Entendons-nous bien : mes remarques portent UNIQUEMENT sur l'utilisation d'un repère.
Les coordonnées d'un point correspondent alors à des distances par rapport à l'origine, et ont donc une dimension de longueur.

Je rappelle qu'un très grand nombre d'exercices, notamment de géométrie dans l'espace, demandent de calculer dans un repère orthonormé des longueurs, des aires, des volumes, des distances d'un point à une droite ou d'un point à un plan, demandent de démontrer que tel triangle est rectangle ou isocèle (ou les deux), etc.

Ce que j'écris, c'est qu'à partir du moment où on raisonne dans un repère, les coefficients, même implicites et égaux à $1$, ne sont pas des nombres abstraits mais ont bien une dimension, dont, certes, on ne se rend pas toujours compte.

Donc, dans $y = x^2 + x + 1$, il faut sommer des longueurs, et non sommer une aire, une longueur et un nombre !
(On dit bien que la constante $1$ est l'ordonnée à l'origine, qui correspond à la distance entre l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées et l'origine.)

Bonsoir cher JLB, bonsoir à tous,

Merci de cette réflexion philosophique qui m'a fait penser au célèbre tableau de Magritte "la Trahison des images" avec pour légende « Ceci n'est pas une pipe ».

Pour continuer sur cette lancée, dans l'équation de parabole $y = x^2 + x + 1$, le $1$ implicite de $x^2$ a une dimension $L^{-1}$ ; le $1$ implicite de $x$ est un nombre sans dimension, et le $1$ explicite de la constante a pour dimension $L$.

De même, dans l'équation $y = x^3 + x^2 + x + 1$, le $1$ de $x^3$ a une dimension $L^{-2}$, etc.

Bien amicalement en retour,
Borassus

Bonjour à tous,

Toujours à propos de la multiplication des rapports trigonométriques par $R$ :
sur la figure ci-dessus,  $OK = R \times \cos \, \alpha$ , et  $OL = R \times \sin \, \alpha$.

Etant le rapport de deux longueurs — dans un triangle rectangle, cosinus = côté adjacent sur hypoténuse ; sinus = côté opposé sur hypoténuse —,   cos, sin, tan, etc. sont des nombres sans dimension.

Les écritures  $OK = R \times \cos \, \alpha$ , et  $OL = R \times \sin \, \alpha$ représentent donc bien des égalités cohérentes en termes de dimensions : une longueur est égale à une longueur multipliée par un nombre sans dimension.

Par contre, écrire, sous prétexte que $R = 1$,  $x = \cos \, \alpha$  et  $y = \sin \, \alpha$  revient à introduire une incohérence : une longueur est égale à une nombre sans dimension.

L'écriture correcte devrait donc être $x = 1 \times \cos \, \alpha$  et  $y = 1 \times \sin \, \alpha$ , avec $1$ ayant une dimension de longueur.

Bonne première journée de pont.

PS : Dans la même logique, écrire  $y = x^2$  ou  $y = x^3$, c'est écrire qu'une longueur est égale à une aire ou à un volume ! 
Comme quoi, tout neutre pour la multiplication qu'il soit, $1$ n'est pas si neutre que cela...  :-)

Je n'avais pas remarqué que sécante et cosécante figuraient sur ta figure; honte à moi !

Bonsoir à tous,
Bernard-maths, apparemment, tu ne t'es pas encore aperçu de la bourde que tu as faite par inattention dans ton premier message (#3 dans cette discussion) : les deux dernières de tes figures dans ce message sont identiques, l'une d'elles ayant pris la place du cas "point M dans le quatrième quadrant" ... 
Bien amicalement, JLB

Hello everybody,

Petite précision concernant ma (jolie :-) figure :

l'axe de la tangente a pour origine le point $(1 \,,\, 0)$ et orienté positivement vers le haut ;

l'axe de la cotangente a pour origine le point $(0 \,,\, -1)$ et est orienté positivement vers la gauche.