Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Afixo1

Membre

Inscription : 10-03-2025

Messages : 1

Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

Bonjour je viens vers vous pour le développement limité du titre,
    Je rencontre quelques difficultés car en développant, on trouve un dl de la forme arccos(1+h) et donc pas quelque chose qui tend vers 0 pour utiliser le dl en 0 de arccos. En essayant d'appliquer la formule de Taylor-Young, on rencontre des difficultés car arccos(x) n'est pas défini en 1... Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 263

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

Bonjour,

  Quitte à composer, tu dois d'abord trouver le DL de $\arccos(1+h).$ Pour cela, je te conseille de commencer par étudier le DL de la dérivée, c'est beaucoup plus facile, puis d'intégrer le DL (ce que l'on a le droit de faire).

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 260

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

Bonjour,
$\arccos$ est bien défini en $1$, mais pas dérivable en $1$.  Difficile donc de lui trouver un développement limité en $1$ !
Par contre, si $\theta=\arccos(\sin(x)/x)$, alors $\theta$ tend vers $0$ (par valeurs positives) quand $x$ tend vers $0$ et $\cos(\theta) = \sin(x)/x$, d'où
$$1-\frac{\theta^2}2+\frac{\theta^4}{24}+o(\theta^5)= 1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}+o(x^5)\;,$$
soit encore
$$3\theta^2- \frac{\theta^4}4+o(\theta^5)=x^2-\frac{x^4}{20}+o(x^5)\;.$$
Tu peux peut-être te débrouiller avec ça ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 260

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

PS. L'indication de Fred me semble très bizarre. Chercher le DL en 0 d'une fonction qui n'est pas dérivable en 0 ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 260

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

En se débrouillant bien, on trouve quelque chose que l'on peut tester avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/jbxrefm6

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 263

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

PS. L'indication de Fred me semble très bizarre. Chercher le DL en 0 d'une fonction qui n'est pas dérivable en 0 ?

J'ai écrit DL au lieu de développement asymptotique mais mon idée me semble fonctionner.

La dérivée de $\arccos(1-h)$ est $\frac1{\sqrt{2h-h^2}}.$
Je fais un développement asymptotique et je trouve : $\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt h}+\frac1{4\sqrt 2}\sqrt h+O(h^{3/2}).$
J'intègre ce développement asymptotique entre $0$ et $h$ (bien sûr, il faudrait que je le justifie ...)
$\arccos(1-h)=\sqrt 2\sqrt h+\frac{\sqrt 2}{12}h^{3/2}+O(h^{5/2}).$

Ensuite, je sais que $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}+O(x^6).$
Je pose $h=\frac{x^2}6-\frac{x^4}{120}+O(x^6)=\frac{x^2}6\left(1-\frac{x^2}{20}+O(x^4)\right),$
de sorte que
$\sqrt h=\frac{|x|}{\sqrt 6}\left(1-\frac{x^2}{40}+O(x^4)\right).$

Il ne me reste plus qu'à faire la substitution, et comme suggéré par l'applet Geogebra de Michel,
on trouve
$$\arccos\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{|x|}{\sqrt 3}-\frac{|x|^3}{90\sqrt 3}+o(x^3).$$

Les techniques sont celles des DLs, il faut juste vérifier que l'on ait autorisé à faire chaque étape, mais sauf erreur de ma part, les preuves faites dans le cadre des DLs fonctionnent aussi ici.

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 260

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

Il manque une racine carrée dans la dérivée de $\arccos(1-h)$. Il vaut mieux appeler un chat un chat, et un développement asymptotique un développement asymptotique et pas un développement limité.
De toutes façons Afixo1 semble s'être désintéressé de sa question.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 263

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

Il manque une racine carrée dans la dérivée de $\arccos(1-h)$. Il vaut mieux appeler un chat un chat, et un développement asymptotique un développement asymptotique et pas un développement limité.
De toutes façons Afixo1 semble s'être désintéressé de sa question.

J'ai corrigé la dérivée. Je suis d'accord. D'ailleurs, à la fin, c'est un développement asymptotique qu'on obtient et non un développement limité.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 260

Re : Developpement limité de arccos((sinx)/x) en 0 à l'ordre 3

C'est bien un développement limité quand on restreint la fonction (paire) à $\mathbb R_+$.