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J'ai corrigé la dérivée. Je suis d'accord. D'ailleurs, à la fin, c'est un développement asymptotique qu'on obtient et non un développement limité.

J'ai écrit DL au lieu de développement asymptotique mais mon idée me semble fonctionner.

La dérivée de $\arccos(1-h)$ est $\frac1{\sqrt{2h-h^2}}.$
Je fais un développement asymptotique et je trouve : $\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt h}+\frac1{4\sqrt 2}\sqrt h+O(h^{3/2}).$
J'intègre ce développement asymptotique entre $0$ et $h$ (bien sûr, il faudrait que je le justifie ...)
$\arccos(1-h)=\sqrt 2\sqrt h+\frac{\sqrt 2}{12}h^{3/2}+O(h^{5/2}).$

Ensuite, je sais que $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}+O(x^6).$
Je pose $h=\frac{x^2}6-\frac{x^4}{120}+O(x^6)=\frac{x^2}6\left(1-\frac{x^2}{20}+O(x^4)\right),$
de sorte que
$\sqrt h=\frac{|x|}{\sqrt 6}\left(1-\frac{x^2}{40}+O(x^4)\right).$

Il ne me reste plus qu'à faire la substitution, et comme suggéré par l'applet Geogebra de Michel,
on trouve
$$\arccos\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{|x|}{\sqrt 3}-\frac{|x|^3}{90\sqrt 3}+o(x^3).$$

Les techniques sont celles des DLs, il faut juste vérifier que l'on ait autorisé à faire chaque étape, mais sauf erreur de ma part, les preuves faites dans le cadre des DLs fonctionnent aussi ici.

F.

PS. L'indication de Fred me semble très bizarre. Chercher le DL en 0 d'une fonction qui n'est pas dérivable en 0 ?

Bonjour,

  Quitte à composer, tu dois d'abord trouver le DL de $\arccos(1+h).$ Pour cela, je te conseille de commencer par étudier le DL de la dérivée, c'est beaucoup plus facile, puis d'intégrer le DL (ce que l'on a le droit de faire).

F.