Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

Bernard-maths · 15-05-2021 11:17:51

Bonjour à tous !

En fait, je pensais qu'une méthode fonctionnait, lorsque je me suis aperçu qu'il y avait des débordements : donc y'a plus rien à voir ainsi !
J'ai rencontré quelques problèmes dans des démonstrations ... il me faut chercher plus ...

Si vous avez quelque idée, surtout n'hésitez pas !!!

A bientôt, Bernard-maths

EN FAIT, JE VAIS VOUS MONTRER CE QUE JE PENSAIS, ET CE QUE CA DONNE !!!

Toutefois je crois bien avoir quand même trouvé des pyramides, et des variantes ...

Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 10:53:12)

Bernard-maths · 01-04-2022 10:14:19

Bonjour à tous !

En considérant une pyramide régulière, à base de polygone régulier, j'ai constaté que pour tout point de la base (le polygone surface), la somme des distances aux plans/côtés de la pyramide est constante ! Prenons le cas d'un carré.

Sur cette figure, le carré bleuté ABCD est la base d'une pyramide de sommet S, les 4 côtés triangulaires verts sont transparents ... Un point M est sur la base ABCD, et se projette en K1, K2, K3 et K4 sur les plans/faces verts, ainsi qu'en Q1, Q2, Q3 et Q4 sur les 4 côtés du carré.

Le théorème des 3 perpendiculaires nous dit que les triangles MiKiQi, i = 1 à 4, sont rectangles en Ki ... et qu'ils sont semblables, les angles en Qi étant égaux. Ainsi on a donc : MK1+MK2+MK3+MK4 = (MQ1+MQ2+MQ3+MQ4) * sin(MQIKI) = 2 AB * sin(MQIKI) = constante !

En fait ici, les 4 triangles sont ceux d'un octaèdre pour z>=0 ... (penser à abs(x)+abs(y)+abs(z)=5).

Dans ce repère, les 4 équations des faces sont : x+y+z=5, x-y-z=-5, x+y-z=-5 et x-y+z=5. les points M de la base vérifient donc l'équation : abs(x+y+z-5) + abs(x-y-z+5) + abs(x+y-z+5) + abs(x-y+z-5) = 2*5 Rac(2) * sin(Qi).

Si l'on positionne M en O, Q1 milieu de [AB], on peut voir que sin(Qi) = OS/SQi = 5 / SQi = 5 / Rac(OS²+OQi²) = 5/Rac(37.5). Hum ... il ne faut pas oublier de diviser à gauche par ... Rac(3) !

Ainsi l'équation devient : abs(x+y+z-5) + abs(x-y-z+5) + abs(x+y-z+5) + abs(x-y+z-5) = 50*Rac(6)/Rac(37.5) !

Que donne cette équation en général ? Qu'en pensez-vous ? ... Voir la suite !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-08-2022 14:01:19)

Zebulor · 01-04-2022 14:20:17

Hello !
Bernard : je viens de te lire vite fait . Tu sembles utiliser à un moment la propriété $\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {a+c}{b+d}$

Bernard-maths · 01-04-2022 14:53:27

La suite !

On trouve une formule connue, surprise : le cuboctaèdre !

LDbmZSv1PwH_Pyramide-sur-carr%C3%A9---cubocta%C3%A8dre-2022-04-01.jpg

LDcjbVF80IH_Pyramide-sur-carr%C3%A9---cubocta%C3%A8dre-2-2022-04-02.jpg

abs(x + y + z - 5) + abs(x - y - z + 5) + abs(x + y - z + 5) + abs(x - y + z - 5) = 5*2*5*sqrt(6)/sqrt(37.5)

On peut voir que le cuboctaèdre a bien pour face inférieure le carré ABCD ... vue par-dessous.

Ainsi, je pensais obtenir une équation de pyramide ! Mais j'avais oublié ce qu'il y avait en-dehors !

A plus, pour de nouvelles découvertes ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 11:03:45)

Bernard-maths · 01-04-2022 20:51:42

Bonsoir à tous !

En mai dernier je venais de découvrir des utilisations intéressantes des fonctions max et min, mais je n'avais pas encore pensé à les utiliser ici. Voici donc ce que ça donne !

Au-dessus : abs(x) + abs(y) + z = 5. Pyramide "infinie" sans base : les 4 pans "supérieurs" de l'octaèdre de sommet S, sans limite ...

Et dessous : max(abs(x) + abs(y) + z - 5, -z). Vues de "dessus", et de "dessous", pour voir la base ABCD ! On a donc bien la pyramide de base ABCD et de sommet S !

Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 11:28:06)

Bernard-maths · 02-04-2022 11:05:13

Bonsoir à tous ! (hier soir 20h + !)

Si on veut généraliser à une base polygonale régulière de n côtés, donnant une pyramide régulière, on va considérer un cercle de centre O(0,0,0) et de rayon r > 0, le 1er point A(r,0,0), les suivants B(r cos(360°/n),r sin(360°/n),0), C etc ... avec A = A1, B = A2, C = A3, alors Ai(r cos(i*360°/n), r sin(i*360°/n),0) ..., et le sommet S(0,0,h), avec h > 0. Tout ça pour n >= 3 !

On doit trouver les équations des n plans/faces latérales de la pyramide ... donc un vecteur normal par exemple ...
Si Ii est le milieu de [AiAi+1], alors un vecteur normal au plan(SAiAi+1) est le vecteur(ONi), où Ni est la projection de O sur [SIi] ...

Ouf ! Il est tard, demain, 21h et quelques ... un calculateur charitable me donnera la formule d'un vecteur normal à chacun des n plans ... ???

Bernard-maths

Bonjour ! Je ne vois rien venir ! Je vais donc continuer mes calculs. La nuit portant conseil, j'ai une réponse ... en modifiant le point Ni !

LDcj6LycMZH_Pyramide-poly%C3%A8dre-00-2022-04-02.jpg

Sur cette figure, n=3, à gauche la vue de dessus et à droite la vue en 3D. I est le milieu de [AB]. Pas d'indice i, on les mettra après, en généralisant ...(OI) et (SI) sont perpendiculaires à (AB), un vecteur normal au plan (SAB) sera contenu dans le plan (SOI) ...

Si on trace la perpendiculaire à (SI) issue de O, et la parallèle à (z'z) passant par I, ces 2 droites sont dans le plan (SOI), et se coupent en un point N ! Traçons les 3 vecteurs (OI), (SI) et (ON), sur la vue de dessus, on vérifie bien qu'ils sont "superposés en projection", et qu'ils ont donc les mêmes coordonnées en x et y, celles du point I !

On peut poser I = (p',q',0), alors vect(SI) = (p',q',-h), vect(ON) = (p',q',r'), où r' est à trouver ... (avec I = (p',q',0) par "abus de langage").

Mais vect(ON) orthogonal à vect(SI), donc leur produit scalaire est nul, ce qui se traduit par : p'² + q'² - r'h = 0, soit r' = (p'²+q'²)/h = OI²/h !

Ce qui donne N = (p',q',(p'²+q'²)/h) = vect(ON). Reste à le rendre unitaire ... ? On verra ...

Maintenant que nous avons identifié un vecteur normal au plan d'une face de la pyramide, il reste à établir les relations générales pour chaque plan, en fonction de l'indice "i" de la face concernée ...

Ce que nous avons vu était pour N=N1, donc pour i = 1. Ii étant le milieu de [AiAi+1], l'angle associé est (AOIi) = 180°/n + (i-1)*360°/n. Tous les segments [OIi] sont isométriques, de longueur OI = r*cos(180°/n), (r rayon du cercle de départ). Les coordonnées des points Ii et des vect(OIi) sont donc (p'i,q'i,0), avec p'i = r*cos(AOIi) et q'i = r*cos(AOIi)*sin(AOIi).

Pour les points Ni, on rajoutera que r'i = r' = (p'²+q'²)/h !

L'équation du plan (pi) = (SAiAi+1) est donc de la forme : p'i x + q'i y + r'i z = ki, et finalement :
(pi) : [r*cos(AOIi)] x + [r*cos(AOIi)*sin(AOIi)] y + [(p'²+q'²)/h] z = (p'²+q'²) = c^te pour tout i.
... ki = (p'²+q'²) pour passer par le (même) sommet S(0,0,h) !

Erreurs à corriger ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-08-2022 17:49:00)

Bernard-maths · 03-04-2022 09:53:38

Bonjour à tous !

On va regarder ce que ça donne pour une pyramide en tétraèdre régulier ! La base est donc un triangle équilatéral ABC, avec A(r,0,0), B(-r/2, r Rac(3)/2,0) et C(-r/2, -r Rac(3)/2,0). Le sommet en est S(0,0,h), avec h = r Rac(2). Reprenons l'équation générale d'un plan (pi) : [r*cos(AOIi)] x + [r*sin(AOIi)] y + [(p'²+q'²)/h] z = (p'²+q'²).

Erreurs à corriger ...

En attendant on peut trouver les 3 équations des 3 plans.

(p1) : x + y sqrt(3) + z sqrt(2) / 2 = r, (p2) : -2 x + z sqrt(2) / 2 = r, et (p3) : x - y sqrt(3) + z sqrt(2) / 2 = r

Dernière modification par Bernard-maths (04-08-2022 07:47:30)

Bernard-maths · 31-07-2022 16:59:37

Bonjour à tous ! Me revoilà ...

Voici ce que donne le tétraèdre ...

LGFo2qrdCHu_Pyramide-sur-t%C3%A9tra%C3%A8dre-2022-07-31.jpg

L'image donnée par Maple, et une vue explicative de GeoGebra, où l'on voit le tétraèdre ABCS de départ, avec son symétrique SA'B'C'.
L'mage, elle, donne un anti-prisme d'ordre 3, on y voit en bas et en haut, la base ABC et sa symétrique A'B'C'. Mais reliées par 6 triangles latéraux !

Ah oui, l'équation :

abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) = (3*r*sqrt(17))/4

La suite plus tard, avec des bases variées ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (31-07-2022 19:08:14)

Bernard-maths · 02-08-2022 17:39:45

Bonjour à tous !

Quelques remarques sur ce qu'on vient de voir ! Nous sommes partis d'un tétraèdre régulier , avec r = 5 et $h = OS = r \sqrt{2} \approx 7.071$.

La formule utilisée nous a donné un anti prisme d'ordre 3 ... MAIS celui-ci comporte en tout 8 faces, c'est un octaèdre ! Irrégulier (hélas ?).

Peut-on le "régulariser" ? En un bel octaèdre à 8 faces équilatérales ?
Eh bien oui, en prenant $h = \dfrac{r\sqrt{2}} {2} \approx 3.5355.$

A gauche le résultat "posé" sur la face ABC de centre O. A droite en le tournant un peu, on "peut voir" que les 3 diagonales sont orthogonales entre-elles ...

VOILA donc le vrai 1er solide de Platon que j'obtiens en fouillant une pyramide !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-08-2022 08:44:10)

Bernard-maths · 03-08-2022 10:38:44

Bonjour à tous !

Merci au mi-stérieux adaptateur de formules Latex ... Voici ce que donne Maple pour l'octaèdre :

abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2) - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) = (3*r*sqrt(17))/4

B-m

Bernard-maths · 01-12-2024 22:53:32

Bonsoir à tous !

Les choses ont avancé ! Ce soir je balance 9 images que je reprendrai et commenterai tranquillement ...
Pour cela passer aux posts suivants celui ci !

Les équations fournies ne sont pas optimisées, elles résultent de recherches ...

Bernar-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2024 17:48:54)

Bernard-maths · 02-12-2024 16:38:50

Bonjour à tous !

J'ai enfin répondu au titre de ces exposés : les solides de Platon en fouillant les pyramides !

En effet, grâce à des combinaisons d'équations de pyramides, on peut trouver une équation pour chacun des solides de Platon.

A titre de documentation sur les objets manipulés, on peut se rendre sur le site de Mathcurve :

https://mathcurve.com/polyedres/bipyram … mide.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/bipyram … mant.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/prisme/antiprisme.shtml

Ces objets se déclinent avec un ordre lié au polygone de base : ordre 3, 4, 5, 6 etc ...

Commençons par l'ordre 3, et le tétraèdre !

La base est un triangle équilatéral de côté a, soit d = [a\frac{Rac(3)}{6}} en Latex ???] = a Rac(3)/6, et les 3 droites d'équations

f: 0.5x + 0.866y - 1.4434 = 0 ; g: x + 1.4434 = 0 ; h: 0.5x - 0.866y - 1.4434 = 0. Ici : a = 5 ; d = 1.4434 ; 0.5 = cos(60°) et 0.866 = sin(60°). d est la distance du point O aux 3 droites, dont les expressions sont < 0 du côté de O.

Pour obtenir une équation du triangle, avec Maple on va utiliser la fonction max.

Ensuite on prend un point S pour sommet, de coordonnées S (0,0,h), avec h> 0 pour commencer. On obtient : avec h = 12

Du même genre que le 1er dessin d post #11.

Si on veut un tétraèdre régulier d'arête a, la hauteur vaut h = a Rac(2/3).

Pour limiter la pyramide à z = -h/3 ...

Voilà qui clôt le 1er solide de Platon aec les pyramides. Bien sur, il exixte d'autres équations de tétraèdre ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2024 10:59:17)

Bernard-maths · 03-12-2024 12:41:04

Bonjour à tous !

Passons aux bipyramides ... comme le bi le dit, il s'agit de 2 pyramides de part et d'autre d'une même base polygonale.

On reprend l'équation d'avant le tétraèdre au post ci dessus, et on met |z| au lieu de z !
Un telle bipyramide d'ordre 3 peut être plus ou moins pointue en fonction de d et h ...

Passons à l'ordre 4 : la base est donc un carré. Pour un tel carré, on peut prendre pour diagonales soit les axes du repère, soit ses bissectrices. Le rouge ou le vert ?

Pour un octaèdre régulier, on a d = a/2, ainsi que h ...

Remarquons que, puisque d = h, que l'équation devient celle bien connue : abs(x) + abs(y) + abs(z) = a Rac(2)/2 !

Voilà donc un deuxième solide de Platon mis en équation par des pyramides ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2024 17:58:10)

Bernard-maths · 03-12-2024 21:51:49

Bonsoir à tous !

Quelques remarques sur les bipyramides ...

Une d'ordre 5, donc sur pentagone régulier :

Où : max(x*cos(alpha0) + y*sin(alpha0) - d, x*cos(alpha0 + 2*Pi/n) + y*sin(alpha0 + 2*Pi/n) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*2) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*2) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*3) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*3) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*4) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*4) - d) est l'équation d'un pentagone.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-12-2024 21:59:08)

cailloux · 03-12-2024 22:45:27

Bonsoir,
Nous sommes dans le sous forum des "beaux problèmes de géométrie"
Soyons clair : est-ce beau ?
Non, en se limitant à des logiciels aussi puissants fussent-ils, c'est très moche.
Désolé, je n'ai pas pour habitude de mâcher mes mots.

Dernière modification par cailloux (03-12-2024 22:55:51)

Bernard-maths · 04-12-2024 09:43:12

Bonjour à tous !

Quelques beaux (?) exercices pour cailloux, et les autres ...

1°) Si le pentagone de base a pour côté a (= 5 par ex), quelle doit être la hauteur h pour avoir une bipyramide à dix faces équilatérales ?

Remarquons qu'on ne peut avoir de faces équilatérales que pour les ordres 3, 4 et 5.

2°) Dans le cas général d'une base polygonale régulière convexe d'ordre n et de côté a, quelle doit être la hauteur h pour avoir une sphère circonscrite ?

3°) En général on a un ellipsoïde circonscrit, quelle est son équation ?

4°) Etant donné un cube d'équation max( abs(x), abs(y), abs(z) )= a > 0, trouver une équation surfacique de la figure formée par les 6 pyramides de bases les 6 faces du cube, et de hauteur 2a. (Tournées vers l'extérieur du cube ...)

Bonne journée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-12-2024 13:01:47)

Bernard-maths · 07-12-2024 13:04:04

Bonjour à tous !

Ici seront donnés les corrigés aux beaux exercices ... pour ceux qui essayeront !

Mais je laisse encore du temps ... je vais continuer mes horreurs ...

Bernard-maths

Bernard-maths · 07-12-2024 13:05:29

Bonjour à tous !

Avant de quitter les bipyramides, remarquons que les octaèdres sont des bipyramides d'ordre 4. Une application de ces octaèdres a été faite dans : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 12#p110212

Passons maintenant aux anti-pyramides.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-12-2024 14:19:05)

Bernard-maths · 06-01-2025 16:24:49

Bonjour cailloux !

Le 03-12-2024 dans le post 15, tu émets une vive critique sur la beauté de mes propos ...

J'aimerais savoir ce que tu trouves de "très moche", afin que je puisse évoluer autrement ...

@+, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (06-01-2025 19:01:26)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-05-2021 11:17:51

Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#2 01-04-2022 10:14:19

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#3 01-04-2022 14:20:17

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#4 01-04-2022 14:53:27

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#5 01-04-2022 20:51:42

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#6 02-04-2022 11:05:13

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#7 03-04-2022 09:53:38

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#8 31-07-2022 16:59:37

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#9 02-08-2022 17:39:45

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#10 03-08-2022 10:38:44

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#11 01-12-2024 22:53:32

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#12 02-12-2024 16:38:50

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#13 03-12-2024 12:41:04

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#14 03-12-2024 21:51:49

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#15 03-12-2024 22:45:27

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#16 04-12-2024 09:43:12

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#17 07-12-2024 13:04:04

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#18 07-12-2024 13:05:29

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

#19 06-01-2025 16:24:49

Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?

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