Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Avant de quitter les bipyramides, remarquons que les octaèdres sont des bipyramides d'ordre 4. Une application de ces octaèdres a été faite dans : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 12#p110212

Passons maintenant aux anti-pyramides.

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Quelques beaux (?) exercices pour cailloux, et les autres ...

1°) Si le pentagone de base a pour côté a (= 5 par ex), quelle doit être la hauteur h pour avoir une bipyramide à dix faces équilatérales ?

Remarquons qu'on ne peut avoir de faces équilatérales que pour les ordres 3, 4 et 5.

2°) Dans le cas général d'une base polygonale régulière convexe d'ordre n et de côté a, quelle doit être la hauteur h pour avoir une sphère circonscrite ?

3°) En général on a un ellipsoïde circonscrit, quelle est son équation ?

4°) Etant donné un cube d'équation max( abs(x), abs(y), abs(z) )= a > 0, trouver une équation surfacique de la figure formée par les 6 pyramides de bases les 6 faces du cube, et de hauteur 2a. (Tournées vers l'extérieur du cube ...)

Bonne journée, Bernard-maths

Bonsoir à tous !

Quelques remarques sur les bipyramides ...

Une d'ordre 5, donc sur pentagone régulier :

Où : max(x*cos(alpha0) + y*sin(alpha0) - d, x*cos(alpha0 + 2*Pi/n) + y*sin(alpha0 + 2*Pi/n) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*2) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*2) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*3) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*3) - d, x*cos(alpha0 + (2*Pi/n)*4) + y*sin(alpha0 + (2*Pi/n)*4) - d) est l'équation d'un pentagone.

Bernard-maths

Bonjour à tous !

J'ai enfin répondu au titre de ces exposés : les solides de Platon en fouillant les pyramides !

En effet, grâce  à des combinaisons d'équations de pyramides, on peut trouver une équation pour chacun des solides de Platon.

A titre de documentation sur les objets manipulés, on peut se rendre sur le site de Mathcurve :

https://mathcurve.com/polyedres/bipyram … mide.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/bipyram … mant.shtml

https://mathcurve.com/polyedres/prisme/antiprisme.shtml

Ces objets se déclinent avec un ordre lié au polygone de base : ordre 3, 4, 5, 6 etc ...

Commençons par l'ordre 3, et le tétraèdre !

La base est un triangle équilatéral de côté a, soit d = [a\frac{Rac(3)}{6}} en Latex ???] = a Rac(3)/6, et les 3 droites d'équations

f: 0.5x + 0.866y - 1.4434 = 0 ; g: x + 1.4434 = 0 ; h: 0.5x - 0.866y - 1.4434 = 0. Ici : a = 5 ; d = 1.4434 ; 0.5 = cos(60°) et 0.866 = sin(60°). d est la distance du point O aux 3 droites, dont les expressions sont < 0 du côté de O.

Pour obtenir une équation du triangle, avec Maple on va utiliser la fonction max.

Ensuite on prend un point S pour sommet, de coordonnées S (0,0,h), avec h> 0 pour commencer. On obtient : avec h = 12

Du même genre que le 1er dessin d post #11.

Si on veut un tétraèdre régulier d'arête a, la hauteur vaut h = a Rac(2/3).

Pour limiter la pyramide à z = -h/3 ...

Voilà qui clôt le 1er solide de Platon aec les pyramides. Bien sur, il exixte d'autres équations de tétraèdre ...

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Merci au mi-stérieux adaptateur de formules Latex ... Voici ce que donne Maple pour l'octaèdre :

abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2) - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) = (3*r*sqrt(17))/4

B-m

Bonjour à tous ! Me revoilà ...

Voici ce que donne le tétraèdre ...

L'image donnée par Maple, et une vue explicative de GeoGebra, où l'on voit le tétraèdre ABCS de départ, avec son symétrique SA'B'C'.
L'mage, elle, donne un anti-prisme d'ordre 3, on y voit en bas et en haut, la base ABC et sa symétrique A'B'C'. Mais reliées par 6 triangles latéraux !

Ah oui, l'équation :

abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) = (3*r*sqrt(17))/4

La suite plus tard, avec des bases variées ...

Bernard-maths

Bonsoir à tous ! (hier soir 20h + !)

Si on veut généraliser à une base polygonale régulière de n côtés, donnant une pyramide régulière, on va considérer un cercle de centre O(0,0,0) et de rayon r > 0, le 1er point A(r,0,0), les suivants B(r cos(360°/n),r sin(360°/n),0), C etc ... avec A = A1, B = A2, C = A3, alors Ai(r cos(i*360°/n), r sin(i*360°/n),0) ..., et le sommet S(0,0,h), avec h > 0. Tout ça pour n >= 3 !

On doit trouver les équations des n plans/faces latérales de la pyramide ... donc un vecteur normal par exemple ...
Si Ii est le milieu de [AiAi+1], alors un vecteur normal au plan(SAiAi+1) est le vecteur(ONi), où Ni est la projection de O sur [SIi] ...

Ouf ! Il est tard, demain, 21h et quelques ... un calculateur charitable me donnera la formule d'un vecteur normal à chacun des n plans ... ???

Bernard-maths

Bonjour ! Je ne vois rien venir ! Je vais donc continuer mes calculs. La nuit portant conseil, j'ai une réponse ... en modifiant le point Ni !

Sur cette figure, n=3, à gauche la vue de dessus et à droite la vue en 3D. I est le milieu de [AB]. Pas d'indice i, on les mettra après, en généralisant ...(OI) et (SI) sont perpendiculaires à (AB), un vecteur normal au plan (SAB) sera contenu dans le plan (SOI) ...

Si on trace la perpendiculaire à (SI) issue de O, et la parallèle à (z'z) passant par I, ces 2 droites sont dans le plan (SOI), et se coupent en un point N ! Traçons les 3 vecteurs (OI), (SI) et (ON), sur la vue de dessus, on vérifie bien qu'ils sont "superposés en projection", et qu'ils ont donc les mêmes coordonnées en x et y, celles du point I !

On peut poser I = (p',q',0), alors vect(SI) = (p',q',-h), vect(ON) = (p',q',r'), où r' est à trouver ... (avec I = (p',q',0) par "abus de langage").

Mais vect(ON) orthogonal à vect(SI), donc leur produit scalaire est nul, ce qui se traduit par : p'² + q'² - r'h = 0, soit r' = (p'²+q'²)/h = OI²/h !

Ce qui donne N = (p',q',(p'²+q'²)/h) = vect(ON). Reste à le rendre unitaire ... ? On verra ...

Maintenant que nous avons identifié un vecteur normal au plan d'une face de la pyramide, il reste à établir les relations générales pour chaque plan, en fonction de l'indice "i" de la face concernée ...

Ce que nous avons vu était pour N=N1, donc pour i = 1. Ii étant le milieu de [AiAi+1], l'angle associé est (AOIi) = 180°/n + (i-1)*360°/n. Tous les segments [OIi] sont isométriques, de longueur OI = r*cos(180°/n), (r rayon du cercle de départ). Les coordonnées des points Ii et des vect(OIi) sont donc (p'i,q'i,0), avec p'i = r*cos(AOIi) et q'i = r*cos(AOIi)*sin(AOIi).

Pour les points Ni, on rajoutera que r'i = r' = (p'²+q'²)/h !

L'équation du plan (pi) = (SAiAi+1) est donc de la forme : p'i x + q'i y + r'i z = ki, et finalement :
(pi) : [r*cos(AOIi)] x + [r*cos(AOIi)*sin(AOIi)] y + [(p'²+q'²)/h] z = (p'²+q'²) = c^te pour tout i.
... ki = (p'²+q'²) pour passer par le (même) sommet S(0,0,h) !

Erreurs à corriger ! Bernard-maths