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Matos2403c

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Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour, j'essaye de montrer que si la suite u à valeurs réelles converge, alors il existe un entier naturel m tel que u_m=inf_n(u_n) ou n tel que u_n=sup_n(u_n)
j'aimerais bien avoir une idée pour commencer. A part le fait que inf_n(u_n)≤sup_n(u_n), rien d'intéressant ne m'est venue à l'esprit.

Merci d'avance.

Fred

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Re : Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour,

  Tu peux déjà considérer le cas où $\inf(u_n)=\sup(u_n)$ qui ne devrait pas trop te poser de problèmes.
Sinon, on a $\inf(u_n)<\sup(u_n)$.
Est-ce que tu peux montrer que si la limite de $(u_n)$ n'est pas $\sup(u_n),$ alors cette borne sup est atteinte (indice : essaie, en utilisant la convergence de $(u_n)$, de démontrer que l'on peut prendre le sup sur un ensemble fini).

F.

bridgslam

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Re : Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour,

Deux  façons de faire, entre autres:

1)
Par l'absurde, en notant $m=inf(u_n)$ et $M = sup(u_n)$ qui existent puisque toute suite convergente est bornée, en supposant donc que ni m ni M soient des valeurs de la suite $(u_n)$, que pouvez-vous en déduire sur l'existence de  suites extraites bien particulières ?
En déduire alors, étant donné la convergence de $(u_n)$ et l'unicité de la limite,  que la suite est constante et égale à m et à M, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse faite.

2) par disjonction des cas
    - si m < l ou l < M ( l étant la limite de la suite convergente u ) :
     Vous pouvez montrer qu'un certain intervalle [m, m' ]  contient un nombre fini d'images par u ou
     qu'un intervalle [M',M] contient un nombre fini d'images par u.
     Conclusion ?
    - sinon  l coïncide avec m et M. Conclusion ?

Voire une troisième si vous êtes familier avec les valeurs d'adhérence d'une suite réelle ( c'est plus ou moins le 1 en plus compact)
Si ni m ni M ne sont des valeurs prises par la suite, ce sont des valeurs d'adhérence de la suite .
Mais u converge , donc l est à la fois sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence, donc m = M, impossible.

Bonne soirée

A.

Dernière modification par bridgslam (27-11-2024 18:26:51)

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Matos2403c

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Re : Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour,

Désolée pour ce retard de réponse, ça fait longtemps que je ne suis pas passée sur le site. Je viens de revenir à cet exercice, en prenant le sup (resp. l'inf) sur un ensemble fini, merci énormément pour votre aide bridgslam et Fred :)

Bonne soirée