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Matos2403c

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Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour, j'essaye de montrer que si la suite u à valeurs réelles converge, alors il existe un entier naturel m tel que u_m=inf_n(u_n) ou n tel que u_n=sup_n(u_n)
j'aimerais bien avoir une idée pour commencer. A part le fait que inf_n(u_n)≤sup_n(u_n), rien d'intéressant ne m'est venue à l'esprit.

Merci d'avance.

Fred

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Re : Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour,

  Tu peux déjà considérer le cas où $\inf(u_n)=\sup(u_n)$ qui ne devrait pas trop te poser de problèmes.
Sinon, on a $\inf(u_n)<\sup(u_n)$.
Est-ce que tu peux montrer que si la limite de $(u_n)$ n'est pas $\sup(u_n),$ alors cette borne sup est atteinte (indice : essaie, en utilisant la convergence de $(u_n)$, de démontrer que l'on peut prendre le sup sur un ensemble fini).

F.

bridgslam

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Messages : 1 507

Re : Toute suite convergente atteint l'une de ses bornes

Bonjour,

Deux  façons de faire, entre autres:

1)
Par l'absurde, en notant $m=inf(u_n)$ et $M = sup(u_n)$ qui existent puisque toute suite convergente est bornée, en supposant donc que ni m ni M soient des valeurs de la suite $(u_n)$, que pouvez-vous en déduire sur l'existence de  suites extraites bien particulières ?
En déduire alors, étant donné la convergence de $(u_n)$ et l'unicité de la limite,  que la suite est constante et égale à m et à M, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse faite.

2) par disjonction des cas
    - si m < l ou l < M ( l étant la limite de la suite convergente u ) :
     Vous pouvez montrer qu'un certain intervalle [m, m' ]  contient un nombre fini d'images par u ou
     qu'un intervalle [M',M] contient un nombre fini d'images par u.
     Conclusion ?
    - sinon  l coïncide avec m et M. Conclusion ?

Voire une troisième si vous êtes familier avec les valeurs d'adhérence d'une suite réelle ( c'est plus ou moins le 1 en plus compact)
Si ni m ni M ne sont des valeurs prises par la suite, ce sont des valeurs d'adhérence de la suite .
Mais u converge , donc l est à la fois sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence, donc m = M, impossible.

Bonne soirée

A.

Dernière modification par bridgslam (27-11-2024 18:26:51)

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