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Anasecha

Invité

Changement de matrice de passage solution du système differentiel

Système différentiel linéaire d'ordre 1 de deux équations à valeurs propres complexes.

**Deuxième cas :** $(\lambda_1, \lambda_2) \in (\mathbb{C} \setminus \mathbb{R})^2$.

On a alors $\lambda_2 = \overline{\lambda_1}$.

La matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{M}_2(\mathbb{C})$ ; il existe $P \in \text{GL}_2(\mathbb{C})$ tel que, en notant :
\[
D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}, \quad A = P D P^{-1}.
\]
Notons $V_1, V_2$ les colonnes de $P$, $V_1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, où $(\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2$. On a alors $V_2 = \overline{V_1} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha} \\ \overline{\beta} \end{pmatrix}$.

Considérons $Q = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$ ; il est clair que $Q$ est inversible et que :
\[
Q^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}.
\]

En notant $B = Q^{-1} D Q$ et $R = P Q$, on a :
\[
A = P D P^{-1} = P Q B Q^{-1} P^{-1} = R B R^{-1}.
\]

Avec :
\[
R = \begin{pmatrix} \alpha + \overline{\alpha} & i (\alpha - \overline{\alpha}) \\ \beta + \overline{\beta} & i (\beta - \overline{\beta}) \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(\mathbb{R}),
\]
et :
\[
B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \lambda_1 + \overline{\lambda_1} & i (\lambda_1 - \overline{\lambda_1}) \\ -i (\lambda_1 - \overline{\lambda_1}) & \lambda_1 + \overline{\lambda_1} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \text{Re}(\lambda_1) & -\text{Im}(\lambda_1) \\ \text{Im}(\lambda_1) & \text{Re}(\lambda_1) \end{pmatrix}.
\]

Notons $u = \text{Re}(\lambda_1)$, $v = \text{Im}(\lambda_1)$. $U_1, U_2$ les colonnes de $R$, $\xi, \zeta$ définis par :
\[
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \xi \\ \zeta \end{pmatrix}.
\]

Un couple $(x, y)$ est solution de $(S)$ sur $\mathbb{R}$ si et seulement si le couple associé $(\xi, \zeta)$, par changement de base, est solution sur $\mathbb{R}$ de :
\[
\xi' = u \xi - v \zeta, \quad \zeta' = v \xi + u \zeta.
\]

Notant enfin $z = \xi + i \zeta$, le système précédent se ramène à $z' = \lambda_1 z$, dont la solution générale est :
\[
z : t \mapsto z_0 e^{\lambda_1 t}, \quad (z_0 \in \mathbb{C}).
\]

\[
\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =
2c_1 \cdot e^{ut} \big( \cos(vt) V_1 - \sin(vt) V_2 \big)
+2 c_2 \cdot e^{ut} \big( \sin(vt) V_1 + \cos(vt) V_2 \big)
\]
où $c_1$ et $c_2$ sont réels et imaginaires, $z_0$.

Le problème, c'est que dans la solution générale, on n'a pas ce facteur 2.

Anasecha

Invité

Re : Changement de matrice de passage solution du système differentiel

Les v1 et v2 dans la solution sont parties réelles et imaginaire du vecteur propre et la matrice R a pour colonne U1 =2 rel(V) ,-2img(V)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Changement de matrice de passage solution du système differentiel

Bonjour,
Pourquoi poster dans deux forums différents ?
https://forums.futura-sciences.com/math … ntiel.html
On a toujours le même espace vectoriel de solutions de l'équation homogène. Ne pas oublier que $c_1$ et $c_2$ sont des constantes arbitraires (les coordonnées des solutions dans la base de l'espace des solutions choisies). Quand on change de base, les coordonnées changent, mais les solutions sont toujours les mêmes.

Anasecha

Invité

Re : Changement de matrice de passage solution du système differentiel

Merci