Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Pourquoi poster dans deux forums différents ?
https://forums.futura-sciences.com/math … ntiel.html
On a toujours le même espace vectoriel de solutions de l'équation homogène. Ne pas oublier que $c_1$ et $c_2$ sont des constantes arbitraires (les coordonnées des solutions dans la base de l'espace des solutions choisies). Quand on change de base, les coordonnées changent, mais les solutions sont toujours les mêmes.

Système différentiel linéaire d'ordre 1 de deux équations à valeurs propres complexes.

**Deuxième cas :** $(\lambda_1, \lambda_2) \in (\mathbb{C} \setminus \mathbb{R})^2$.

On a alors $\lambda_2 = \overline{\lambda_1}$.

La matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{M}_2(\mathbb{C})$ ; il existe $P \in \text{GL}_2(\mathbb{C})$ tel que, en notant :
\[
D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}, \quad A = P D P^{-1}.
\]
Notons $V_1, V_2$ les colonnes de $P$, $V_1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, où $(\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2$. On a alors $V_2 = \overline{V_1} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha} \\ \overline{\beta} \end{pmatrix}$.

Considérons $Q = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}$ ; il est clair que $Q$ est inversible et que :
\[
Q^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}.
\]

En notant $B = Q^{-1} D Q$ et $R = P Q$, on a :
\[
A = P D P^{-1} = P Q B Q^{-1} P^{-1} = R B R^{-1}.
\]

Avec :
\[
R = \begin{pmatrix} \alpha + \overline{\alpha} & i (\alpha - \overline{\alpha}) \\ \beta + \overline{\beta} & i (\beta - \overline{\beta}) \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(\mathbb{R}),
\]
et :
\[
B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \lambda_1 + \overline{\lambda_1} & i (\lambda_1 - \overline{\lambda_1}) \\ -i (\lambda_1 - \overline{\lambda_1}) & \lambda_1 + \overline{\lambda_1} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \text{Re}(\lambda_1) & -\text{Im}(\lambda_1) \\ \text{Im}(\lambda_1) & \text{Re}(\lambda_1) \end{pmatrix}.
\]

Notons $u = \text{Re}(\lambda_1)$, $v = \text{Im}(\lambda_1)$. $U_1, U_2$ les colonnes de $R$, $\xi, \zeta$ définis par :
\[
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \xi \\ \zeta \end{pmatrix}.
\]

Un couple $(x, y)$ est solution de $(S)$ sur $\mathbb{R}$ si et seulement si le couple associé $(\xi, \zeta)$, par changement de base, est solution sur $\mathbb{R}$ de :
\[
\xi' = u \xi - v \zeta, \quad \zeta' = v \xi + u \zeta.
\]

Notant enfin $z = \xi + i \zeta$, le système précédent se ramène à $z' = \lambda_1 z$, dont la solution générale est :
\[
z : t \mapsto z_0 e^{\lambda_1 t}, \quad (z_0 \in \mathbb{C}).
\]

\[
\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =
2c_1 \cdot e^{ut} \big( \cos(vt) V_1 - \sin(vt) V_2 \big)
+2 c_2 \cdot e^{ut} \big( \sin(vt) V_1 + \cos(vt) V_2 \big)
\]
où $c_1$ et $c_2$ sont réels et imaginaires, $z_0$.

Le problème, c'est que dans la solution générale, on n'a pas ce facteur 2.