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#1 13-09-2024 22:11:43

Kabyshnov
Invité

exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonjour, déjà je vous donne la fonction : f(x) = 0 si x=0 et sin(1/x) sinon.
Je comprend bien que celle-ci n'est pas réglée car il n'y a pas de limite à droite en 0. Mais je ne comprend pas intuitivement en voyant par exemple le graphe comment elle peut être intégrable.

Merci de vos réponse et votre aide !

#2 15-09-2024 21:16:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 231

Re : exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonjour,

  Je vais te justifier l'intégrabilité au sens de Lebesgue.
Déjà, cette fonction est mesurable parce qu'elle est continue par morceaux. Ensuite elle est bornée. Donc elle est intégrable !

F.

Hors ligne

#3 15-09-2024 23:01:05

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 512

Re : exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonsoir,

On a aussi qu'elle est Riemann-intégrable sur [0;1] par exemple.
En effet:

- elle est  bornée sur sur ce segment
- l'ensemble des points de discontinuité est {0}, donc négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Si la question en arrière-plan est pourquoi cela ne vous saute pas aux yeux graphiquement, c'est une autre histoire.

A.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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