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Kabyshnov

Invité

exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonjour, déjà je vous donne la fonction : f(x) = 0 si x=0 et sin(1/x) sinon.
Je comprend bien que celle-ci n'est pas réglée car il n'y a pas de limite à droite en 0. Mais je ne comprend pas intuitivement en voyant par exemple le graphe comment elle peut être intégrable.

Merci de vos réponse et votre aide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 342

Re : exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonjour,

  Je vais te justifier l'intégrabilité au sens de Lebesgue.
Déjà, cette fonction est mesurable parce qu'elle est continue par morceaux. Ensuite elle est bornée. Donc elle est intégrable !

F.

bridgslam

Membre Expert

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Messages : 1 902

Re : exemple d'une fonction R-intégrable mais pas réglée

Bonsoir,

On a aussi qu'elle est Riemann-intégrable sur [0;1] par exemple.
En effet:

- elle est  bornée sur sur ce segment
- l'ensemble des points de discontinuité est {0}, donc négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Si la question en arrière-plan est pourquoi cela ne vous saute pas aux yeux graphiquement, c'est une autre histoire.

A.