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#1 07-09-2024 22:32:17
- Peterouchikh
- Membre
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- Messages : 17
une limite pathologique !!
BSR à Toutes et Tous !!
Voilà un petit exo tout mignon. Il est pathologique car j'aime bien sortir des sentiers battus et d'un certain classicisme ennuyant
Soit $f$ une fonction continue sur $[0, +\infty[$, telle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=l$, $l\in\mathbf{R}$, $l>0$. et $f(0)+f(1)+...+f(n)\ne 0$
quel que soit $n\in\mathbf{N}$. Il s'agit de montrer que :
\[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left[\dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}\right]=1\]
J'ai essayé d'appliquer la définition d'une limite d'une suite , en fixant un $\epsilon>0$, et chercher un rang pour laquelle on a
$$\displaystyle\left\lvert \dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}-1\right\rvert<\epsilon$$
c-à-d
$$\displaystyle\left\lvert \int_{0}^{n} f(t) \,dt-\sum_{i=1}^{n} f(i) \right\rvert < \epsilon \sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert $$
Je sais que ,puisque $f(n)$ tend vers $l$, $\sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert$ peut être, a partir d'un certain rang, majorée par quelque chose dépendant de $l,n$ et $ \epsilon $ et c'est ici que je bloque !!
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#2 08-09-2024 08:16:25
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : une limite pathologique !!
Bonjour,
Ta question me fait penser à l'approximation du calcul d'une intégrale par la méthode des rectangles.
J'écrirai donc
$$\int_0^n f(t) dt = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} f(t) dt$$
et j'approcherai $\int_k^{k+1} f(t) dt$ par $f(k)$... mais évidemment il faut utiliser quelque part la limite de $f$ en $+\infty$ ce qui n'est sans doute pas si facile...
Le résultat demandé me semble faux : par exemple si $f$ est une fonction telle que $f(0)=1$ et $f(x)=0$ pour tout $x\geq 1$ alors on a, pour tout $n\in \mathbb N$ :
$$\int_0^n f = \int_0^1 f \qquad \text{et} \qquad f(0)+f(1)+...+f(n) = f(0)$$
Dans ce cas, je pense qu'on peut difficilement toujours affirmer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{\int_0^1 f}{f(0)} = 1$.
Suite au échanges ci-dessous (cf. message #6 de bridgslam), les fonctions mises en avant ici tendent vers $\ell=0$ alors que l'énoncé annonce que le résultat est vrai dès lors que $\ell>0$. Il ne s'agit donc pas de contre-exemples...
Roro.
Dernière modification par Roro (08-09-2024 13:05:37)
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#4 08-09-2024 08:57:38
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : une limite pathologique !!
Bonjour Bridgslam,
Sa fonction est continue par hypothèse.
La mienne aussi !
Elle peut même être de classe $\mathcal C^\infty$ si tu veux...
$$f(x)=\mathrm{exp}(\frac{x}{x-1}) \quad \text{lorsque $0\leq x < 1$}$$
prolongée par $0$ sur $[1,+\infty[$.
Roro.
Dernière modification par Roro (08-09-2024 09:04:01)
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#8 08-09-2024 13:13:39
- Totototo
- Invité
Re : une limite pathologique !!
Bonjour,
Constatez que
1) l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} l dt$ est une intégrale divergente d'une fonction positive,
2) la série $\sum l$ est une série à termes positifs divergente.
Puis utilisez les résultats classiques (sinon à démontrer ou bien chercher une preuve sur internet) d'intégration et de sommation d'équivalents.
#9 08-09-2024 13:15:45
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : une limite pathologique !!
Bonjour,
Il l'est sans doute, le dénominateur est équivalent à nl ( théorème de Césaro ).
On peut montrer normalement qu'il en est de même avec le numérateur, au moyen des séries et/ou intervention des opérations somme et intégrale, je pense.
Il y a eu un autre fil sur un sujet quasi-équivalent, auquel Totototo (il me semble ) avait pris part (sauf erreur).
A.
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#10 08-09-2024 17:24:35
- Peterouchikh
- Membre
- Inscription : 12-01-2024
- Messages : 17
Re : une limite pathologique !!
Bonjour,
Merci pour vos suggestions.
J'ai oublié d'indiquer que c'est exo niveau sup. en fait , on a pas encore fait les séries
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#11 08-09-2024 18:34:42
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 903
Re : une limite pathologique !!
Bonsoir,
Alors vous pouvez en principe vous inspirer du théorème de Césaro,et la décalquer avec des intégrales au lieu de sommations discrètes, je ne l'ai pas écrite mais on doit retomber sur ses pieds sauf erreur.
A.
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#12 08-09-2024 20:59:20
- Peterouchikh
- Membre
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- Messages : 17
Re : une limite pathologique !!
Bonsoir
J'ai réussi à prouver que $\int_{0}^{n} f(t) \,dt$ et $\sum_{i=1}^{n} f(i)$ sont tous les deux équivalents à $nl$ (par par le biais de Cesàro)
Merci bcp pour votre aide
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#14 08-09-2024 22:11:37
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : une limite pathologique !!
Bonsoir,
Le lemme de Cesàro permet de se sortir de situations délicates.
Si ça vous intéresse, ce fil était intéressant ( avec une bonne étude de suites au passage ) à ce sujet:
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15634
A.
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#15 09-09-2024 01:14:25
- Peterouchikh
- Membre
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Re : une limite pathologique !!
Bonjour,
Merci bcp
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