Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Winzer

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Exercice sur les suites

Bonjour, voici un exercice que j’ai eu en colle et je n’arrive pas à résoudre la dernière question :

Soit u une suite réelle telle que u(0) > 0 et pour tout n entier naturel, u(n+1) =u(n)/(1+u(n)^2).

a) Monteer que pour tout n, u(n) > 0. En déduire que u converge vers 0

b) Pour tout n, v(n) = 1/u(n)^2. Montrer que (v(n+1)-v(n)) converge

c) En déduire que (u(n) * sqrt(n)) converge.

Fred

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Re : Exercice sur les suites

Bonjour

  Es-tu sûr de l'énoncé de la question b). J'aurais plutôt parié sur la série que sur la suite....

F.

Winzer

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Re : Exercice sur les suites

Nous n’avons pas encore traité le chapitre sur les séries…

bridgslam

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Re : Exercice sur les suites

Bonsoir,

Votre dernière question se fait facilement si vous connaissez le théorème de Césaro.

Posant $d_n = v_{n+1} - v_n$   , alors $(\sum_{k=0}^{n} d_n )/(n+1) = ( v_{n+1} - v_0) /(n + 1)$ par télescopage dans la suite v.

Sachant que la suite d converge d'après la question précédente, vous voyez facilement donc que la suite $v_n /n $ aussi... car d'après césaro si une suite converge, la moyenne de ses premiers termes aussi (vers la même limite en plus), bon exo.

Comme (petit calcul ) c'est l'inverse du carré de celle qu'on vous propose, elle aussi converge... il faut juste vérifier que $d_n$ de la question précédente ne tend pas vers 0.

Dernière modification par bridgslam (08-12-2022 08:58:57)

Winzer

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Re : Exercice sur les suites

Ah oui nous venons de l’étudier merci beaucoup je vais me pencher sur cette méthode.

bridgslam

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Re : Exercice sur les suites

Bonjour,

J'avais oublié de préciser que $\lim ( u_n \sqrt n ) = \sqrt{2}/2$ (en utilisant à la question précédente que $d_n$ converge vers 2 bien-sûr) et mes indications précédentes.

A.