Croissance comparée en spécialité maths

Borassus · 21-08-2024 07:31:34

Bonjour,

Il faut "aller chercher" loin pour que $\ln x$ deviennent négligeable devant $\sqrt[3]{x}$.

Par exemple, pour que $\ln x$ devienne égal à seulement 5 % de $\sqrt[3]{x}$, il faut que $x$ soit égale à $4.35 \times 10^7$.

Là, $x \to +\infty$ prend son sens intuitif « tend vers de très grandes valeurs » ...

Bonne journée à tous

Michel Coste · 21-08-2024 09:41:39

Bonjour,

Le papier semilog, c'est pas mal :

Borassus · 22-08-2024 00:18:13

Bonjour Michel, bonjour à tous,

Ô que merci de ton judicieux apport !
(J'étais triste de ne plus avoir le plaisir de bénéficier de tes réponses, chacune d'elles me faisant précieusement avancer dans mes compréhensions. Et pas seulement moi, d'ailleurs...)

Pour nos amis peu familiarisés avec les échelles logarithmiques, il faut lire le graphique comme suit : à, par exemple, la valeur $25$ sur l'axe des abscisses correspond la valeur $e^{25}$. La racine cubique de $e^{25}$ est égale à $4 \: 160$.

Comme les puissances de $e$ sont peu parlantes, j'ai converti les deux courbes en abscisses logarithmiques en base $10$ : à la valeur $5$ correspond $10^5$ ; à la valeur $10$ correspond $10^{10}$ ; etc.

J'ai ajouté les points pour lesquels la valeur de $\ln x$ est égale à 1% de celle de la racine cubique.
La ligne pointillée correspond à 0,1 % (soit un pour mille) de la valeur de la racine cubique. Celle-ci est égale à $31 \: 027$ et sort complètement de la fenêtre d'affichage.

[Ajouté :]On voit que, même en utilisant une échelle logarithmique, la fonction $\ln$ croît "extrêmement lentement".

PS : J'explique précisément la logique des logarithmes en demandant d'abord de placer sur un axe horizontal une échelle allant de $10^{-9}$ à $10^9$.
Puis de réaliser une échelle allant de $\dfrac 1 {512}$ à $512$, et de multiplier à la main, par exemple, $0,00390625 \times 128$ ...

Bonne et fructueuse journée à tous.

Dernière modification par Borassus (22-08-2024 15:44:44)

Ernst · 23-08-2024 12:13:18

yoshi a écrit :

Je n'ose même pas envisager 100 décimales

Bonjour,

On peut obtenir sans problème une centaine de décimales avec la formule classique. On commence par choisir pour n une belle puissance de 2, grâce à celle-ci on calcule ensuite la valeur 1+1/n, et il suffit alors de multiplier cette valeur par elle-même le même nombre de fois que cette puissance. C'est facile, c'est rapide, c'est efficace, exemple avec Maple et quelques centaines de boucles seulement :

décimales de e

Ce genre de calcul est quasi instantané. Maple par exemple calcule en moins d’un dixième de seconde mille décimales avec le programme modifié et une puissance de 2 de plusieurs milliers. Appréhender de « grands » nombres aujourd’hui n’a plus grand chose à voir avec le coup de l’échiquier et des grains de riz, faut bien le dire…

Sur le fond, je pense qu’il n’est nul besoin de savoir calculer une constante, il suffit que quelqu’un l’ait fait une fois pour toute et hop ça marche, et cela aussi bien pour e que pour Pi ou pour la vitesse de la lumière, bien pratique.

Borassus · 24-08-2024 10:48:16

Bonjour Ernst, bonjour à tous,

Merci pour cette façon effectivement simple de procéder !
Pourquoi précisément $202$ pour le nombre de décimales, et pas une autre ?
Pourquoi aussi la puissance $334$, et pas une autre ?

En définitive, quelle doit être dans la formule classique la valeur de $n$ pour atteindre 100 décimales justes ?

Appréhender de « grands » nombres aujourd’hui n’a plus grand chose à voir avec le coup de l’échiquier et des grains de riz, faut bien le dire…

Cette abondante discussion permet en effet de bien comprendre — et donc de bien faire comprendre — qu'il faut distinguer "grands nombres" mathématiques et "grands nombres" physiques (ainsi que les "petits nombres" mathématiques et "les petits nombres" physiques) : du fait des possibilités calculatoires actuelles, on peut manier de "grands nombres" et de "petits nombres" mathématiques ne correspondant à aucune réalité physique, et pas vraiment appréhendables.

Sur le fond, je pense qu’il n’est nul besoin de savoir calculer une constante, il suffit que quelqu’un l’ait fait une fois pour toute

Oui !!

Bon week-end à tous !

PS : Apparemment quelqu'un s'est amusé hier à ouvrir en permanence cette discussion (et les deux précédentes) pour faire artificiellement monter les compteurs de vues...

Dernière modification par Borassus (24-08-2024 11:13:30)

Ernst · 24-08-2024 20:05:01

Borassus a écrit :

Pourquoi précisément $202$ pour le nombre de décimales, et pas une autre ?
Pourquoi aussi la puissance $334$, et pas une autre ?

Hello Borassus,

Au départ, je mène les calculs avec une précision interne vraiment grande pour éviter les erreurs d’arrondi, par exemple 500 décimales, et j’essaie différentes puissances à la louche. Je m’approche des cent décimales par essais et erreurs jusqu’à arriver pile poil avec 334.

Une fois cette valeur trouvée, je réduis progressivement le nombre de décimales des calculs internes jusqu’à perdre la précision, ici autour de deux cents. C’est donc par tâtonnement que j’arrive à ces nombres qui paraissent tout droit sortis d’un chapeau.

Bon, sur ce coup être minimaliste n’était pas vraiment utile, faut bien reconnaître, je voulais simplement montrer qu’avec la formule originelle on pouvait obtenir une belle précision en rusant.

À noter qu’en ce qui me concerne, c’est avec les intérêts composés - et donc cette formule - que j’ai le mieux appréhendé ce qu’était $e$, et pas du tout avec la définition usuelle qui me reste complètement hermétique.

En définitive, quelle doit être dans la formule classique la valeur de $n$ pour atteindre 100 décimales justes ?

Aucune idée. Autant Maple est capable de manipuler des nombres avec des milliers de décimales, autant il est incapable de faire lui-même une exponentiation un peu sérieuse, Wolfram non plus d’ailleurs. Faut dire que l'exposant est assez impressionnant puisque qu'il est quand même supérieur à 2^333, c'est-à-dire 17498005798264095394980017816940970922825355447145699491406164851279623993595007385788105416184430592

Je suis toujours aussi admiratif de pouvoir manipuler aujourd'hui de tels nombres, c'est fou. Bonne soirée à tous !

Borassus · 24-08-2024 22:19:03

Hello Ernst,

Merci pour ces précisions, et pour ce nombre $2^{333}$ devant lequel on ne peut effectivement qu'être admiratif.

Je me suis amusé à le scinder en tranches de douze chiffres, chaque tranche étant elle-même scindée en groupes de trois chiffres :
17.498 005.798.264.095 394.980.017.816 940.970.922.825 355.447.145.699 491.406.164.851 279.623.993.595 007.385.788.105 416.184.430.592

La "lecture" de ce nombre donne
17 mille 498 de
5 milliards, 798 millions, 264 mille, 095 de
394 milliards, 980 millions, 17 mille 816 de
940 milliards, 970 millions, 922 mille, 825 de
355 milliards, 447 millions, 145 mille, 699 de
491 milliards, 406 millions, 164 mille, 851 de
279 milliards, 623 millions, 993 mille, 595 de
7 milliards, 385 millions, 788 mille, 105 de
de 416 milliards, 184 millions, 430 mille, 592

Effectivement « du fait des possibilités calculatoires actuelles, on peut manier de "grands nombres" mathématiques ne correspondant à aucune réalité physique, et pas vraiment appréhendables. »
Belle illustration !!

Bonne fin de soirée à tous, en espérant que vous n'aurez pas besoin de compter autant de moutons avant de vous endormir. :-)

PS : J'essaiera tantôt de rendre le développement en série moins hermétique...

[Ajouté : ] PPSS : Je ne sais si ma lecture de ce nombre est conceptuellement pertinente. J'ai l'impression que non. Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Borassus (25-08-2024 09:57:38)

Borassus · 25-08-2024 12:02:48

Bonjour,

Pour mieux visualiser les courbes racines par rapport à la courbe $ln x$, j'ai tracé sur GeoGebra les courbes $y = \dfrac {10^{\frac x 3}}{100}$, $y = \dfrac {10^{\frac x {10}}}{100}$, $y = \dfrac {10^{\frac x {20}}}{100}$ et $y = \dfrac {10^{\frac x {100}}}{100}$ correspondant aux racines cubique, dixième, vingtième, centième.
(Apparemment GeoGebra bugue en ne traçant que partiellement la courbe $y = \dfrac {\ln {10^x}}{100}$.)

Je me suis demandé en quoi l'utilisation d'une échelle logarithmique sur l'axe des abscisses rend les courbes convexes alors que les courbes racines sont concaves.

Explication :
Si $f(x) = \left ( 10^x \right )^{\frac 1 n}$ ,

$f'(x) = \dfrac 1 n \left ( 10^x \right )^{\frac 1 n -1} \times \left (10^x \times \ln {10} \right )$
(dérivée de la fonction racine par rapport à $10^x$, multipliée par la dérivée de $10^x$ par rapport à $x$, la dérivée de $a^x$ étant $a^x \times \ln a$)

d'où $f'(x)= \dfrac 1 n \left ( 10^x \right )^{\frac 1 n} \times \ln {10}$

et

$f''(x) = \dfrac 1 {n^2} \left ( 10^x \right )^{\frac 1 n -1} \times 10^x \times \ln^2 {10} = \dfrac 1 {n^2} \left ( 10^x \right )^{\frac 1 n } \times \ln^2 {10} > 0$

D'où la convexité observée des courbes.

Bon dimanche ensoleillé à tous

Dernière modification par Borassus (25-08-2024 19:45:33)

Bernard-maths · 25-08-2024 12:04:23

Bonjour à tous !

Voilà pour les ignares (;-) , que j'étais juste avant :

https://www.maths-et-tiques.fr/index.ph … ds-nombres

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-08-2024 12:05:32)

Borassus · 25-08-2024 12:12:27

Bonjour Bernard, et merci !

C'est bien ce qui me semblait : je suis ignare en expression de grands nombres ! :-)
(Je ne connaissais pas toutes ces désignations !)

Je vais donc essayer de traduire $2^{333}$ selon ce tableau.
Mais pas tout de suite car je compte profiter du beau temps pour faire une virée sur ma mignonne Orcal Astor vert anglais.

Si quelqu'un veut s'y coller ? :-)

Dernière modification par Borassus (25-08-2024 12:17:23)

Borassus · 25-08-2024 22:57:56

Bonsoir,

En écrivant le nombre
17.498 005.798 264.095 394.980 017.816 940.970 922.825 355.447 145.699 491.406 164.851 279.623 993.595 007.385 788 105 416 184 430 592
(il y a 96 chiffres après 17 498),

il se lit
17 mille 498 sexdécillions,
5 mille 798 quindécillions,
264 mille 095 quattuordécillions,
394 mille 980 tredécillions,
17 mille 816 duodécillions,
940 mille 970 undécillions,
922 mille 825 décillions,
355 mille 447 nonillions,
145 mille 699 octillions,
491 mille 406 septillions,
164 mille 851 sextillions,
279 mille 623 quintillions,
993 mille 595 quatrillions,
007 mille 385 trillions,
788 billiards,
105 billions,
416 milliards,
184 millions,
430 mille,
592

Pfou !! Comme disait la pub, ch'feurrais pas ça tous les jours !!

Et dire que ce fameux $n$ pour lequel il y a 100 décimales justes est quelque part entre ce nombre et son double, soit quelque 34 996 sexdécillions (et "des poussières" :-)

Bonne nuit quand même !
N'abusez pas de l'aspirine, c'est mauvais pour l'estomac ! :-)

Dernière modification par Borassus (25-08-2024 23:09:07)

Ernst · 26-08-2024 11:50:52

Borassus a écrit :

J'essaiera tantôt de rendre le développement en série moins hermétique...

Bonjour,

En fait le développement en série ne me dérange pas trop. On peut l’utiliser en calculant par exemple exp(1/x) qu’on élève ensuite à la puissance x, ce qui est équivalent à exp(1). L’avantage du procédé, c’est que le développement de exp(1/x) produit des dénominateurs rapidement gigantesques et permet d’obtenir les cent décimales avec seulement dix termes :

convergence

C’est là qu’on se rend compte de l’efficacité d’algorithmes spécifiques je trouve.

yoshi · 26-08-2024 19:35:44

Bonjour;

J'ai adapté ton script à Python, il ne fonctionne pas : je reprends demain...
J'ai trouvé sur le net un petit script utilisant le module decimal de Python (un poil plus long que le tien) que j'ai légèrement retouché. Voilà ${e}$ avec 1000 décimales :

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350363
Temps écoulé (affichage inclus): 0.039999961853027344 s

J'ignore s'il est adaptable à Maple.
Depuis le module decimal de Python, on importe la classe Decimal (Python sensible à la casse). Moi je l'ai importé avec un alias pour éviter de répéter le mot-clé Decimal et me contenter de D. Le typage est dit dynamique, il se fait "à la volée".
A ce que j'avais lu :
- la classe Decimal de Python définit des nombres décimaux spécifiques qui lui sont propres et ne travaille qu'avec ses propres "décimaux",
- on ne peut pas utiliser entiers et décimaux : un entier doit être converti en Decimal Python.

N-B : c'est l'indentation (décalage à droite) qui sépare les blocs...

while True: tant que Vrai est Vrai --> boucle infinie dont on sort avec l'instruction break.
Ici compte tenu du nb de chiffres significatifs souhaités, on sort de la boucle à condition qu'il n'y ait plus de variation entre l'ancienne valeur de s (i.e : s1) et la nouvelle qui est s.
L'auteur précise qu'il calcule la factorielle par récurrence...

fromdecimalimport Decimal as D, getcontext

getcontext().prec=1001
fromtimeimporttime

def expdec(x):    # déclaration de la fonction expdec, le paramètre x est la puissance de e souhaitée

    x=D(x)           # = --> affectation). Le paramètre x est la puissance de e souhaitée

    s1 =D(1)

    k = D(1)

    n = 0

    while True:

        n+=1          # équivalent à n=n+1

        k*= x/D(n)

        s = s1 + k

        if s==s1:     #== --> comparatif d'égalité

            break

        else:

           s1 = s

    return s

td=time()

print(expdec(1))

print ("temps écoulé (affichage inclus):", time()-td, "s")

@=

Dernière modification par yoshi (26-08-2024 20:13:55)

Borassus · 26-08-2024 20:56:37

Bonsoir Ernst, bonsoir Yoshi, bonsoir à tous,

Ernst, ton calcul est absolument magnifique ! L'idée de considérer le nombre $e$ comme étant $(e^{\frac 1 x})^x$ est une véritable perle !

Pourquoi as-tu choisi $k = 2^{32}$, et non, par exemple $2^{16}$ ou $2^{26}$ ?

Toute petite rectification, si je peux me permettre : un nombre multiplié 32 fois par lui-même est égal à ce nombre élevé à la puissance... 33. :-)
En effet, $v^2 = v \times v$ (le nombre est multiplié une fois par lui-même ; $v^3 = v \times v \times v$ (le nombre est multiplié deux fois par lui-même) ; etc.

C’est là qu’on se rend compte de l’efficacité d’algorithmes spécifiques je trouve.

Oui !!
Et ce qui est porteur aussi, c'est de ne pas prendre une formule à la lettre, et de la voir autrement.

PS : Ayant une connaissance très réduite de Python, je trouve que le langage Maple est plus intuitif que le langage Python.

Dernière modification par Borassus (26-08-2024 21:40:47)

Ernst · 26-08-2024 22:38:47

Bonsoir Yoshi, bonsoir tout le monde,

Hé hé, c’est un peu grâce à toi et à tes 71 termes que j’ai essayé de faire mieux, faut bien le dire.

yoshi a écrit :

J'ai adapté ton script à Python, il ne fonctionne pas : je reprends demain...

Ok, celui-là devrait marcher, je l'ai essayé dans plusieurs moteurs Python dispo en ligne sans problème.

import decimal

decimal.getcontext().prec = 120

k = 2**32

x = k

v = decimal.Decimal(1)

f = decimal.Decimal(1)

for i in range(1, 11):

    f *= i

    v += 1 / (f * x)

    x *= k

for _ in range(32):

    v = v * v

print(f"{v:.103f}")

(je ne suis pas un spécialiste, j’ai simplement demandé à un assistant AI de me traduire le code Maple en Python)

Ernst · 26-08-2024 22:53:20

Hello Borassus, bonsoir tout le monde,

Borassus a écrit :

Pourquoi as-tu choisi $k = 2^{32}$, et non, par exemple $2^{16}$ ou $2^{26}$ ?

En fait je suis parti sur les calculs de Yoshi qui ne trouvait pas cela terrible au regard des résultats qu’il avait avec des méthodes de calcul de racines. Je me suis dit qu’il fallait faire mieux. Avec $2^{16}$ j’arrivais à 20 termes, le développement de ces termes dépassait une ligne, j’ai donc poussé pour obtenir le truc en 10 termes. Comme toujours avec moi, c’est un compromis et c’est arbitraire.

Ah oui, on notera que plus on augmente la puissance de 2, moins on a besoin de termes. On peut même finir avec un seul et unique terme si on adopte un exposant de… 334, vu que dans ce cas on retrouve la formule originelle avec la même valeur au dénominateur et en exposant.

L'idée de considérer le nombre $e$ comme étant $(e^{\frac 1 x})^x$ est une véritable perle !

Content que tu apprécies, j'ai trouvé cela dans ce papier de 2004 où l’auteur regroupe les termes pour converger plus vite et calcule également à partir de l’inverse (voir l'équation (14) et les paragraphes associés en bas de la cinquième page marquée 38). Je ne voulais pas regrouper – sinon c’est autre chose – mais ce qui m’a vraiment plu c’est l’idée de passer par des racines de plus en plus importantes et ensuite de restaurer avec des exposants de plus en plus grands. J’ai donc développé, sans trop optimiser pour que tout reste bien lisible.

Ernst · 26-08-2024 23:05:42

Borassus a écrit :

Toute petite rectification, si je peux me permettre : un nombre multiplié 32 fois par lui-même est égal à ce nombre élevé à la puissance... 33. :-)
En effet, $v^2 = v \times v$ (le nombre est multiplié une fois par lui-même ; $v^3 = v \times v \times v$ (le nombre est multiplié deux fois par lui-même) ; etc.

En fait ici, comme je fais $v\times v$ plusieurs fois de suite, cela revient à obtenir $v^{2}$, $v^{4}$, $v^{8}$, $v^{16}$, ..., $v^{4294967296}$ c'est pourquoi je choisis comme exposant initial une puissance de 2 (et pas 26).

Ernst · 27-08-2024 01:48:02

yoshi a écrit :

J'ignore s'il est adaptable à Maple.

Bonsoir Yoshi,

Sur ce coup j’ai demandé à un assistant AI de me traduire ça en Maple (l'échange complet ici), ça me sort le millier de décimales instantanément et termine par « Temps écoulé (affichage inclus): 0.000 s », donc moins d’un millième, bravo pour ton script.

Ce qui montre combien les outils actuels (Geogébra, Python, Maple, Wolfram, les assistants AI tout ça) sont en train d’intégrer une expertise considérable, c’est absolument fabuleux.

Borassus · 27-08-2024 08:09:50

Ernst a écrit :

En fait ici, comme je fais $v\times v$ plusieurs fois de suite, cela revient à obtenir $v^{2}$, $v^{4}$, $v^{8}$, $v^{16}$, ..., $v^{4294967296}$ c'est pourquoi je choisis comme exposant initial une puissance de 2 (et pas 26).

Bonjour Ernst, bonjour à tous,

C'est effectivement ce que j'avais compris, d'où mon $2^{16}$ initial. (J'ai rajouté $2^{26}$ en sachant d'emblée qu'avec ce nombre on ne peut reproduire ta boucle.)

Il m'a d'ailleurs fallu un peu de temps pour la comprendre — je me suis demandé si elle calculait en fait $(v^2)^{32}$ —, mais je l'ai comprise en faisant tourner les premières itérations "à la main" :
Pour $i = 1$, $v = v \times v = v^2 = v^{2^1}$ ;
pour $i = 2$, $v = v^2 \times v^2 = v^4 = v^{2^2}$ ;
pour $i = 3$, $v = v^4 \times v^4 = v^8 = v^{2^3}$ ;
etc.

Ma remarque concernait ton commentaire « # on le multiplie 32 fois par lui-même ».
C'est une faute que je vois très souvent : le carré d'un nombre n'est pas égal à ce nombre multiplié deux fois par lui-même, mais bien à ce nombre multiplié une fois par lui-même : $v^2 = v \times v$ (il n'y a qu'une seule multiplication !).
De même, le cube d'un nombre n'est pas égal à ce nombre multiplié trois fois par lui-même, mais bien à ce nombre multiplié deux fois par lui-même : $v^3 = v \times v \times v$ (il n'y a que deux multiplications !)

Bonne, agréable et fructueuse journée à tous.

Ernst · 27-08-2024 08:48:05

Bonjour,

Borassus a écrit :

Ma remarque concernait ton commentaire « # on le multiplie 32 fois par lui-même ».

Ah ok, j’avions pas percuté à quoi cela se rapportait. Je suis bien sûr d’accord avec ce que tu expliques, cela fait partie des innombrables impropriétés du langage courant, un peu comme les augmentations de 200 % pour un facteur 2 ou les « c’est pas droit » pour dire penché.

yoshi · 27-08-2024 13:53:33

Bonjour à tous,

@Ernst
Je te remercie pour ton Bravo, mais ce script n'est pas de moi : j'ai d'ailleurs mis un moment pour savoir où se cachait la fameuse récurrence dont l'auteur parlait...
C'est l’œuvre d'un certain Tyrtamos ( qui poste régulièrement sur le sous-forum Python du site developpez.net), tirée d'un ses sites persos, ici : https://python.jpvweb.com/python/mesrec … th_decimal
Il y a de quoi faire...

Ici encore :
https://python.jpvweb.com/python/mesrec … enalea_bbs
il implémente l'algorithme Blum Blum Shub et crée des générateurs de bits, d'octets, de nombres (dont des premiers) pseudo aléatoires pour la cryptographie...

Le script Python a été traduit en Maple par une IA ? Bigre...
Quoiqu'à la radio, j'ai entendu, il y a quelques temps, qu'unr IA avait pu prendre l'initiative de modifier son code et s'ajouter des fonctionnalités supplémentaire. Depuis, j'ai une autre perception des IA...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#76 21-08-2024 07:31:34

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#77 21-08-2024 09:41:39

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#78 22-08-2024 00:18:13

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#79 23-08-2024 12:13:18

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#80 24-08-2024 10:48:16

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#81 24-08-2024 20:05:01

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#82 24-08-2024 22:19:03

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#83 25-08-2024 12:02:48

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#84 25-08-2024 12:04:23

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#85 25-08-2024 12:12:27

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#86 25-08-2024 22:57:56

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#87 26-08-2024 11:50:52

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#88 26-08-2024 19:35:44

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#89 26-08-2024 20:56:37

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#90 26-08-2024 22:38:47

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#91 26-08-2024 22:53:20

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#92 26-08-2024 23:05:42

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#93 27-08-2024 01:48:02

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#94 27-08-2024 08:09:50

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#95 27-08-2024 08:48:05

Re : Croissance comparée en spécialité maths

#96 27-08-2024 13:53:33

Re : Croissance comparée en spécialité maths

Réponse rapide

Pied de page des forums