Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ArthurPrime

Invité

Equadiff

Bonsoir à vous,

Je voulais avoir des renseignements sur ce que voulait dire ici : https://www.bibmath.net/ressources/inde … adiff.html
"Si f(x)=Aexp(rx), on cherche une solution sous la forme Bexp(rx) si r n'est pas racine de l'équation caractéristique."
A vrai dire, je ne comprends pas très bien dans le cas, on doit poser ce fameux Bexp(rx).

Merci de votre aide,
Bonne soirée.

cloporte

Membre

Inscription : 27-12-2023

Messages : 7

Re : Equadiff

Salut, en gros si tu as une équa diff y''+ay'+by=f(x) et que f est de la forme [tex]A(x)e^{rx}[/tex] avec A un polynôme tu chercheras une solution particulière [tex]y_{p} = B(x)e^{rx}[/tex] avec B un polynôme du même degré que A. Ensuite tu dérives ton [tex]y_{p}[/tex] 2 fois, tu remplaces dans l'équation de base et tu détermines les coefficients par identification selon les puissances et là tu auras ton polynôme B. J'espère que c'était clair, hésite pas si tu as une autre question ;).

Arthur_Repond_Soir

Invité

Re : Equadiff

Bonsoir,

C’est pas clair désolé, dans le sens où A est réel dans le cas que j’ai mentionné et en réalité, je ne comprends pas comment on se retrouve dans le cas où on a la solution f (« Aexp(rx) ») et qu’on doit chercher une solution sous la forme Bexp(rx) avec r qui n’est pas racine.

Bonne soirée,

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Equadiff

Bonjour,

Pour commencer, une remarque de forme : tu as lancé ce fil avec ton compte ArthurPrime. Pourquoi le continuer avec un autre pseudo, comme invité ?

Ensuite, on peut te faire une réponse à deux niveaux :
1°) La page que tu as mise en lien est un catalogue de recettes pour trouver une solution particulière d'une équadiff linéaire avec second membre. Ces recettes marchent. Donc, tu appliques la recette, point barre.
2°) Si tu cherches à savoir pourquoi le recette marche, voici une explication. Soit $D$ la droite vectorielle dans l'espace des fonctions réelles engendrée par la fonction $f:x\mapsto \exp(rx)$, dans le cas où cette fonction n'est pas solution de l'équadiff homogène $y''+ay'+by=0$. L'application linéaire $u$ définie par $u(y)=y''+ay'+by$ envoie $D$ dans elle-même et $u(f)\neq 0$ (hypothèse que $f$ n'est pas solution de l'équadiff homogène). Donc $u$ est un automorphisme linéaire de $D$, et pour tout réel $A$ il existe un unique $g\in D$, c.-à-d. $g=Bf$, tel que $u(g)=Af$. Autrement dit, ce $g$ est une solution particulière de l'équadiff avec second membre $y''+ay'+by= A\exp(rx)$.

ArthurPrime

Invité

Re : Equadiff

Bonsoir,

J'utilise un compte pour l'ordinateur et l'invité pour le téléphone étant donné que ça me déconnecte en permanence dessus.
Merci de l'explication.

Bonne soirée,