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Peterouchikh

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une suite convergente et les bornes sup et inf

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Une telle suite possède la propriété $P_1$ (resp. $P_2$ ) s'il existe un indice $h$ (resp. $k$) tel que
$u_h = sup_nu_n$ (resp. $u_k = inf_n u_n$).
Montrer que si la suite $ (u_n)$ est convergente dans $R$ elle possède au moins
l'une des propriétés $P_1$ ou $P_2$.

Michel Coste

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?

bridgslam

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Bien  "sec":

- dire Bonjour ou Bonsoir ne mange pas de pain
- indiquer ce que vous avez essayé, vos idées... même si elles vous semblent loufoques
- c'est bien d'utiliser Latex

Quelques pistes:

▼que faire avant tout

- montrer que l'énoncé a un sens
Non pas en pensant à une erreur d'énoncé (rare), mais cela cadre la question et permet souvent de mieux y répondre.

▼un mode de raisonnement possible

- raisonner par l'absurde en montrant que si une suite convergente de réels ne vérifie ni P1 ni P2 on obtient une contradiction logique

▼pousser plus loin les conséquences

- $ inf(u_n) < sup(u_n)$ ( pourquoi?)
  Vous pouviez aussi prendre le cas d'égalité à part avant de raisonner par l'absurde, selon vos goûts...

- la suite est aussi divergente

▼le résultat des courses

- faire le bilan, conclusion
- extras :
     - imaginer le comportement possible de quelques suites
     - que modifier dans l'énoncé et la conclusion pour étendre à un contexte  plus général, quitte à considérer des bornes infinies et/ou une suite à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}$ ?
     - les choses s'énoncent plus simplement en terme de valeurs d'adhérence, au cas où vous l'auriez étudié.

Bon courage
A.

Peterouchikh

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Pardonner moi pour oublier de dire un simple bonjour

bridgslam

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Une méthode annexe si on préfère éviter le passage par les suites extraites.

1 - Cas où les bornes sont égales: que pouvez-vous en déduire ?
2 - Cas $m= inf ( u_n) \lt  sup (u_n) = M$

alors si L est la limite de la suite, on peut écrire $m \lt L \le M$ ou $m \le L \lt M$.
On fait la preuve dans le premier cas, l'autre est son quasi copié-collé.

Montrer que l'ensemble des images par u  dans $[ m , \frac {m+L}{2}[ $ est fini et non vide.
Que peut-on en déduire pour m ?
Quelle est la conclusion ?

A.

Dernière modification par bridgslam (18-08-2024 09:19:24)

Peterouchikh

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

A.

Merci tes suggestions m'ont beaucoup aidés
l'ensemble considéré est non vide, car sinon on aurait une contradiction du type $infu_n>m$, et il est clair qu'il est fini, en effet sinon, on aura $L<L$ (par le passage des suites extraites ).
Et pour finir $m$ ça doit être $inf${l'esemble}  (par un simple raisonnement)

Dernière modification par Peterouchikh (19-08-2024 17:23:07)

bridgslam

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Il est fini car à partir d'un certain rang N, $u_n \ge \frac {m+L}{2}$ et l'ensemble des images d'un ensemble fini ( typiquement inclus dans { 0,1,...., N-1 } donc fini )est fini. Tout simplement.

C'est un résultat général : le cardinal de l'image f(X) d'un ensemble n'est jamais plus grand.

Bonne soirée.

A.

Peterouchikh

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Il est fini car à partir d'un certain rang N, par  $ \frac {m+L}{2}$ et l'ensemble des images d'un ensemble fini ( typiquement inclus dans { 0,1,...., N-1 } donc fini )est fini. Tout simplement.

A.

Je ne vois pas  pourquoi $u_n$ est minorée a partir d'un certain rang par  $ \frac {m+L}{2}$. si vous pouvez m'éclairer, cordialement.

Dernière modification par Peterouchikh (20-08-2024 00:57:06)

bridgslam

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Re : une suite convergente et les bornes sup et inf

Bonjour,

Si vous notez $\epsilon = L -  ....$ la propriété de convergence de u vers L vous assure cette propriété, qui suffit à votre bonheur.

A.