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#1 02-06-2024 10:40:16

Pol de Tayrac
Membre
Inscription : 19-05-2024
Messages : 6

Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour tout le monde.
Je me demande si l'assertion  [tex]d(A,B)=0 \Rightarrow A\cap B \neq \emptyset[/tex] est vraie pour A et B des parties fermées dans un espace métrique quelconque.
Je pense que oui mais j'arrive pas à le montrer. J'ai essayé aussi de trouver des contrexemples mais sans succès.

Dernière modification par Pol de Tayrac (02-06-2024 10:43:40)

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#2 02-06-2024 11:01:58

Pol de Tayrac
Membre
Inscription : 19-05-2024
Messages : 6

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour à nouveau.
J'ai deja trouvée un contrexemple sur un livre
[tex]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\leq 0\}[/tex] et  [tex]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\geq e^x\}[/tex]

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#3 02-06-2024 13:32:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 170

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour,
L'assertion est vraie si un des deux fermés est compact.

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#4 02-06-2024 20:35:13

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 454

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonsoir !

Je suis loin de tout ça !

Mais moi je pensais aux x >=0 pour A et les x<=0 pour B ... Alors A et B sont compacts (?), et d(A,b) = 0, et A∩B = {0} non vide ... ?


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#5 02-06-2024 21:56:58

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 170

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Ni $\left] -\infty,0\right]$ ni $[0,+\infty[$ ne sont compacts.
Et quand bien même ? L'assertion vraie est que si $A$ est compact et $B$ fermé disjoint de $A$, alors $d(A,B)>0$.
Alors si on a deux compacts $A$ et $B$ avec $d(A,B)=0$ et $A\cap B\neq \emptyset$, quel est le problème  ? (La deuxième propriété entraîne d'ailleurs la première).

Dernière modification par Michel Coste (03-06-2024 09:46:52)

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#6 03-06-2024 08:28:09

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 454

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour !

Quand je dis cest loin pour moi ... en effet, je pensais que A = ]-∞ , 0] et B = [0 , +∞[ étaient compacts !

Pourquoi pas ??? Merci

Bernard-maths


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#7 03-06-2024 10:24:16

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 97

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour
Ces deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$ ne sont pas compacts parce qu'ils ne sont pas bornés. On peut donc en exhiber des suites sans valeur d'adhérence.

Dernière modification par DeGeer (03-06-2024 10:25:30)

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#8 03-06-2024 10:29:13

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 454

Re : Distance entre deux fermes disjointes

OK ! Merci !


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#9 03-06-2024 14:53:57

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 458

Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour,

En écho à Michel Coste, si A compact est disjoint de B fermé,
on peut utiliser la continuité de d(., B) non nulle sur A pour obtenir le résultat.

Bonne journée
Alain


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