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Pol de Tayrac

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Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour tout le monde.
Je me demande si l'assertion  [tex]d(A,B)=0 \Rightarrow A\cap B \neq \emptyset[/tex] est vraie pour A et B des parties fermées dans un espace métrique quelconque.
Je pense que oui mais j'arrive pas à le montrer. J'ai essayé aussi de trouver des contrexemples mais sans succès.

Dernière modification par Pol de Tayrac (02-06-2024 10:43:40)

Pol de Tayrac

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour à nouveau.
J'ai deja trouvée un contrexemple sur un livre
[tex]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\leq 0\}[/tex] et  [tex]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\geq e^x\}[/tex]

Michel Coste

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour,
L'assertion est vraie si un des deux fermés est compact.

Bernard-maths

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonsoir !

Je suis loin de tout ça !

Mais moi je pensais aux x >=0 pour A et les x<=0 pour B ... Alors A et B sont compacts (?), et d(A,b) = 0, et A∩B = {0} non vide ... ?

Bernard-maths

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Michel Coste

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Ni $\left] -\infty,0\right]$ ni $[0,+\infty[$ ne sont compacts.
Et quand bien même ? L'assertion vraie est que si $A$ est compact et $B$ fermé disjoint de $A$, alors $d(A,B)>0$.
Alors si on a deux compacts $A$ et $B$ avec $d(A,B)=0$ et $A\cap B\neq \emptyset$, quel est le problème  ? (La deuxième propriété entraîne d'ailleurs la première).

Dernière modification par Michel Coste (03-06-2024 09:46:52)

Bernard-maths

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour !

Quand je dis cest loin pour moi ... en effet, je pensais que A = ]-∞ , 0] et B = [0 , +∞[ étaient compacts !

Pourquoi pas ??? Merci

Bernard-maths

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DeGeer

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour
Ces deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$ ne sont pas compacts parce qu'ils ne sont pas bornés. On peut donc en exhiber des suites sans valeur d'adhérence.

Dernière modification par DeGeer (03-06-2024 10:25:30)

Bernard-maths

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

OK ! Merci !

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bridgslam

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Re : Distance entre deux fermes disjointes

Bonjour,

En écho à Michel Coste, si A compact est disjoint de B fermé,
on peut utiliser la continuité de d(., B) non nulle sur A pour obtenir le résultat.

Bonne journée
Alain

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