Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ernst

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Probabilités

Amis du tâtonnement, bonjour.

Je lis dans le Tangente HS 17 (magazine mathématico-ludique de vulgarisation que j’aime bien) un petit problème sympa : une marque de chocolat décide de placer les cartes des onze principaux joueurs de l’équipe nationale de football dans ses tablettes et se demande combien de tablettes devra acheter en moyenne un amateur pour avoir l’équipe complète.

Suit une considération sur la simulation informatique, en concluant que c’est bien pratique, en quelques milliers d’expériences on trouve des valeurs oscillant autour de 33 alors que la valeur exacte est de 33,2 et n’est obtenue qu’au bout de longs calculs. Ah bon. Une probabilité de ce type sans le paquet de décimales qui va avec, cela me paraît un peu court quand même. Je me lance donc dans des simulations et après quelques milliards de tirages j’obtiens quelque chose d’assez stable qui commence par 33,21866...

Sauf que j’aimerais bien avoir le calcul exact. La nuit portant conseil, je me dis que c’est un peu comme lancer un dé et continuer jusqu’à obtenir tous les chiffres de 1 à 6, et que là il doit bien y avoir quelque chose à ce sujet sur le Net avec la formule qui va bien. Le matin, avant toute chose je lance ma simulation pour le dé et j’obtiens un 14,7000… plutôt étonnant. Bref, recherche Web, après explorations je tombe sur quelqu’un qui, pour le problème du dé qu’avait posé un internaute, donne le 14,7 (tadaa !) et propose la formule 6/1+6/2+6/3+...+6/6.

Je me dis tiens, la série harmonique 1/1+1/2+1/3… avec le 6 qui est le nombre d’éléments attendus. Cool. Je demande donc à Wolfram Alpha de me faire le produit de n et de la somme partielle de cette série de 1 à n. Pour 6, j’obtiens bien 147/10 et pour 11 un magnifique 83711/2520 = 33,21865... qui vérifie mes précédentes décimales - sauf la dernière, un cinq au lieu d’un six, je n’étais pas loin.

Le magazine date de 2004. Je me dis que vingt ans ans après, pour l'amateur les progrès sont quand même considérables : d’une part je peux faire des milliards de simulations et non plus des milliers, d’autre part je dispose d’un internet avec quantité d’expertise en ligne, et enfin je bénéficie de programmes de calcul formel qui me pondent du résultat sans effort.

Bernard-maths

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Re : Probabilités

Bonjour àtous !

Ernst vient de titiller chez moi l'émerveillement de notre technologie moderne !

Lorsque je dis "les anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur", je pense avec admiration à leurs "trouvailles" faites "à la main" sans aide extérieure ...

Maintenant on peut dessiner n'importe quel figure et la tourner dans tous les sens. Pythagore, et tous les autres, bravo pour vos travaux !

Je me retiens pour ne pas verser une larme d'admiration ...

Bernard-maths

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Glozi

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Re : Probabilités

Bravo ! c'est très joli et tu as raison, il y a bien la somme harmonique derrière.
En fait ce problème est connu comme le problème du collectionneur.
Quelques liens pour en savoir plus à ce sujet :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … nneur.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3% … _vignettes
Bonne journée

Ernst

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Re : Probabilités

Hello Glozi, merci pour les liens.

Quand je pense que tout était disponible… Fait rien, c’est un peu comme la pêche à la ligne, y a beau avoir des poissonneries tout partout, le plaisir c’est aussi de le faire soi-même.

Dernière modification par yoshi (11-03-2024 19:09:52)

Ernst

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Re : Probabilités

Re-bonjour à toute l’équipe, parce qu’il y a une suite.

Je demande à Maple de me faire la fonction générique, et ça donne très bien :

L’escalier, normal, puisque la série harmonique ne marche qu’avec des entiers. La pente de chaque marche, normal aussi, puisque la somme constante entre deux entiers est multipliée par x qui est un réel. Un tas de souvenirs me reviennent. Est-ce que, sur cet intervalle, cette fonction est continue ? Est-ce qu’elle est dérivable ? On nous demandait toujours de faire ça, en maths, même si je ne vois pas trop l’intérêt du truc (qu’on m’excuse, hein).

Apparemment, elle est continue puisque définie pour tous les réels sur l’intervalle, et d’ailleurs Maple fait une succession de segments tous reliés les uns aux autres. Bien. Sauf qu’en cherchant la définition de la continuité, je m’aperçois que non, elle n’est pas continue. Ah bon. Cela serait à cause du passage d’un y1 à un y2 sans intermédiaire, d’après ce que j’ai compris. Et si je faisais pivoter la courbe dans le sens des aiguilles d’une montre par exemple ? Normalement cela doit pouvoir se faire, on se retrouve alors avec une succession de segments dont plus aucun n’est vertical, non ? Et une rotation planaire, cela ne devrait pas être insurmontable je pense…

Il y a aussi dérivable. Dans l’idée que je m’en fais, chaque marche a une pente et est donc dérivable. Mais les verticales, c’est-y une pente ? Géométriquement (et visuellement) c’est un segment, pour moi tous les segments se valent, mais question dérivabilité en cartésien pas si sûr. Donc là encore, un petit coup de rotation et hop, problème résolu dans la mesure où sur des dents d’une scie à l’horizontale, ce ne sont pas les pentes qui manquent.

Donc ma question, à ce stade, est la suivante : est-il possible de faire pivoter une fonction f(x) autour d’un point, et si non, pourquoi non ?

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Bonsoir,

Fait rien, c’est un peu comme la pêche à la ligne, y a beau avoir des poissonneries tout partout, le plaisir c’est aussi de le faire soi-même.

Je suis tout à fait d'accord. Aujourd'hui, il est de toute façon assez difficile de trouver facilement des problèmes de maths élégants et faisables (avec une solution simple) qui ne soient pas déjà répertoriés.

Apparemment, elle est continue puisque définie pour tous les réels sur l’intervalle

Aïe, voilà qui peut en faire hurler plus d'un :) Ne le prend pas mal, mais c'est vraiment une grosse erreur de raisonnement.

Sinon, ça m'amuse que Maple arrive à tracer le graphe de ta fonction, en effet quel sens donner à $\sum_{n=1}^{3.14}\frac{1}{n}$ ? Manifestement, il considère que c'est la même chose que $\sum_{n=1}^3\frac{1}{n}$, mathématiquement parlant il ne semble pas que ce soit une convention très utilisée...

Enfin, pour répondre à l'une de tes questions : généralement quand sur un graphe on voit un saut vertical c'est signe d'une discontinuité :)

En fait, une première question serait : pourquoi vouloir définir $f(x)$ pour tout réel $x$ et pas juste $f(n)$ pour les entiers $n$ ?
Bonne soirée

Bernard-maths

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Re : Probabilités

Bonsoir !

J'ai parfois des difficultés à obtenir avec Maple un tracé correct !

Cela se produit autour des valeurs zéros en dénominateur ... je n'ai pas encore identifié clairement le problème ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (11-03-2024 21:36:56)

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Ernst

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Re : Probabilités

Bonsoir Glozi,

Amusant, je venais de terminer cela quand j'ai lu ton intervention, ça répond un peu à cette idée d'extension des entiers aux réels puisque toujours sous Maple, j'ai essayé différentes choses pour voir (je suis un curieux) et là, magie :

Plus d’escalier, courbe parfaitement continue. Voilà-t-y pas que la série harmonique, qui est censée être une somme d’inverses de nombres entiers, se met à être opérationnelle avec des réels. Et tout cela parce que sans faire attention j’ai simplement écrit « f(x), x = 1..6 » plutôt que le « f, 1..6 » que j’avais utilisé précédemment. Pour moi deux les formulations étaient équivalentes, d’où la surprise.

Jusque là il ne m’était pas venu à l’idée d’essayer autre chose que des entiers. Bon, soyons clair, je ne sais pas trop ce que l’événement « obtenir exactement dix cartes et demie » peut bien signifier, mais comme on m’a déjà fait le coup avec les factorielles ou les exposants capables de devenir réels, moi tout me convient. (depuis qu’on m’a sorti un i tel que i² = -1 que j’ai vécu à l’époque comme une véritable trahison, plus rien ne saurait m’étonner)

Après recherches, pas impossible que Maple substitue à la fonction harmonique une fonction qui s’étend aux réels, genre fonction Zêta de Rieman ; j’ai lu là-dessus des trucs sans vraiment les comprendre mais cela avait l’air sérieux. Pour ce qui est de la dérivabilité, elle me paraît possible (c’est une courbe qui me donne l’impression d’avoir des tangentes tout partout) sauf que la calculer quand on ne connaît pas la formule de remplacement, euh…

P-S. Maple me propose ceci, je lui demande si f(x) est continu sur l'intervalle il me dit oui, je lui demande la dérivée, il me sort un truc que pour moi c’est de l’hébreu. Ou plutôt du chinois. Ou même tiens, après tout pourquoi pas, du grec.

Ernst

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Re : Probabilités

Pythagore, et tous les autres, bravo pour vos travaux !

Je me retiens pour ne pas verser une larme d'admiration ...

Bernard-maths

Bonsoir Bernard-maths

Bien d’accord avec toi, j’ai également une admiration sans bornes pour tous ceux qui ont été capables de défricher à la main des domaines mathématiques d’une complexité hallucinante.

Ernst

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Re : Probabilités

Marrant de voir où peut nous conduire une simple interrogation, à savoir « combien de tablettes en moyenne ».

Ne le prend pas mal, mais c'est vraiment une grosse erreur de raisonnement.

Oui, c'est vrai. Sur ce coup je voulais simplement exposer le raisonnement d'un amateur quand il voit un logiciel spécialisé de haut niveau dessiner une ligne tout à fait continue.

(en passant, je ne suis pas susceptible donc tous commentaires bienvenus, mais vraiment quoi)

généralement quand sur un graphe on voit un saut vertical c'est signe d'une discontinuité :)

Et c'est bien pour cela que, rusé, je voulais basculer la courbe...

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Hum...
Il semblerait, que la fonction que Maple utilise pour interpoler est la fonction digamma
https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
Je ne suis pas familier avec cette fonction, je regarderai de plus près demain si j'ai le temps.
Bonne nuit

Ernst

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Re : Probabilités

Hum...
Il semblerait, que la fonction que Maple utilise pour interpoler est la fonction digamma
https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
Je ne suis pas familier avec cette fonction, je regarderai de plus près demain si j'ai le temps.
Bonne nuit

Ah, trop bien.

Allez, anecdote. Longtemps j’ai considéré les exposants comme des nombres entiers et rien d’autre. J’arrive à comprendre un nombre multiplié plusieurs fois par lui-même, mais un exposant réel, pas possible. Sauf qu'un beau jour arrivent les logarithmes, une révélation. Pour moi qui n’adore rien tant que les nombres et les chiffres, pouvoir utiliser des exposants complètement tarabiscotés c’est une expansion inespérée du champ des calculs.

Après cela je me suis demandé s’il existait la même chose pour les factorielles, une opération magique qui permettrait elle aussi le calcul pour n’importe quel réel. Un beau jour je feuillette un dictionnaire mathématique (Internet n’existait pas encore) et bim, je tombe sur la fonction Gamma capable de calculer les factorielles de n'importe quel nombre. Je n'en avais pas l'usage, mais le plaisir encore maintenant d'avoir eu une sorte de prescience mathématique. (je sais, il m'en faut peu)

Et aujourd’hui, alors que je n’y pensais même pas, re-re-pof, voilà qu’il existe aussi une fonction qui généralise une sommation partielle de nombres entiers - donc théoriquement discrète comme tu le soulignais à juste raison - et la rend continue. En mathématiques rien d'impossible certes, mais où donc cela s'arrêtera-t-il ?

En tout cas merci Maple, et surtout merci Glozi.