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Borassus

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Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonsoir,

Il est aisé d'établir à partir de la définition d'une parabole — ensemble des points équidistants du foyer et de la directrice — que les coordonnées du foyer d'une parabole $y = x^2$ sont $ \left(0 , \dfrac {a}{4} \right)$, et que l'équation de la directrice est $y = - \dfrac {a}{4}$, le paramètre de la parabole, distance entre le foyer et la directrice, étant $p = \dfrac {a}{2}$.

Mais je n'arrive pas à déterminer les coordonnées des deux foyers d'une hyperbole équilatère $y = \dfrac{a}{x}$ à partir de la définition bifocale — ensemble des points pour lesquels la différence des distances avec les foyers est constante.
Je ne sais pas non plus déterminer l'équation des deux directrices.

De façon générale, je connais assez peu l'hyperbole.

Comment faut-il procéder ?

Merci d'avance pour vos indications.

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

But de la question : pouvoir expliquer à des élèves de Seconde ou de Première pourquoi la courbe $y = \dfrac a x$ est appelée hyperbole.

Dernière modification par Borassus (13-02-2024 23:01:58)

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonsoir,
Je suppose $a>0$. Tu sais alors que les foyers sont $(f,f)$ et $(-f,-f)$. Tu essaies alors de retrouver l'équation $xy=a$ à partir de
$$\left(\sqrt{(x-f)^2+(y-f)^2}-\sqrt{(x+f)^2+(y+f)^2}\right)^2=k^2\;.$$Ça s'arrange très bien.

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Merci Michel,

J'y travaillerai demain en matinée car je sais largement d'expérience que je ne dois pas trop faire de maths le soir avant de me coucher car le cerveau continue à en faire pendant mon (semi-)sommeil.

Bonne nuit.

Bernard-maths

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonjour !

Ah ! Les distances en + ou en -, voilà de quoi s'amuser ...

Voici un article intéressant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole … 9matiques)

@+, B-m

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Ça s'arrange très bien.

Bonjour tout le monde, Michel et Bernard en particulier.

« Ça s'arrange très bien. »
C'est vite dit ! Après un développement fastidieux et demandant beaucoup d'attention, j'aboutis, sauf erreur de ma part, à
$2x^2 + 2y^2 + 4f^2 - 2\sqrt{x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 - 8xyf^2} = k^2$

J'observe que $\left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 = x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 + 4x^2f^2 + 4y^2f^2$

D'où
$x^4 + y^4 + 4f^4 + 2x^2y^2 - 8xyf^2 = \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 -4x^2f^2 - 4y^2f^2 - 8xyf^2$
$= \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 - 4f^2(x + y)^2$
$= \left(x^2 + y^2 + 2f^2\right)^2 - \left[2f(x + y) \right]^2$

Arrivé là, qu'est-ce que j'en fais de cette différence de carrés ??

Voici un article intéressant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole … 9matiques)

J'avais bien sût vu cet article mais n'y avais pas a priori trouvé la réponse à ma question.

Bernard-maths

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Le nom d'hyperbole ...

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Borassus, il y a erreur de ta part (sous le radical).
Ce qui reste sous le radical, on a avantage à remarquer que c'est $$(x^2+y^2+2f^2-2f(x+y))(x^2+y^2+2f^2+2f(x+y))\;.$$
Non, faites excuse. j'avais mal lu. Mais il faut persévérer pour chasser le radical en le mettant d'un côté de l'égalité, et tout le reste de l'autre.

Dernière modification par Michel Coste (14-02-2024 11:23:11)

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

C'est bien ce que j'obtiens à partir de la différence des deux carrés mentionnée ci-dessus. Il n'y a donc pas d'erreur de ma part.

C'est précisément arrivé à ce produit que je ne vois pas comment continuer et me libérer de la racine pour finalement trouver la valeur de $f$ en fonction de $a$.
D'où ma question.

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Non, faites excuse. j'avais mal lu. Mais il faut persévérer pour chasser le radical en le mettant d'un côté de l'égalité, et tout le reste de l'autre.

Compris. Là je dois sortir pour quelque temps.
Je continuerai à mon retour.
Mais je perçois bien la façon d'opérer.

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Le nom d'hyperbole ...

« Le nom d'« hyperbole » (application par excès) lui est donné par Apollonios de Perga, remarquant, dans sa construction, que l'aire du carré construit sur l'ordonnée excède l'aire d'un rectangle de hauteur fixe construit sur l'abscisse. »

Oui, et ??

Roro

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Oui, et ??

et... il suffit de cliquer sur le lien donné sur la page qu'indiquait Bernard :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole … )#Histoire

C'est bien une explication sur la raison du nom "hyperbole" en mathématiques !

Roro.

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonjour Roro,

L'extrait que je cite est bien sûr tiré de la page indiquée. J'ai donc bien cliqué sur le lien.  :-)

Le « et ?? » signifiait « En quoi cette étymologie m'aide à trouver les coordonnées des foyers ? »

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Ce qui m'importe, c'est de pouvoir expliquer — sans me risquer à détailler les calculs car l'élève lambda ne tiendrait pas le coup — que la courbe $y = \dfrac a x$ répond bien à la définition bifocale de l'hyperbole.

Dernière modification par Borassus (14-02-2024 13:05:01)

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Ben qu'attends-tu pour terminer le calcul ? Courage !

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Je n'ai pu m'y plonger que peu de temps, et dois partir dans un quart d'heure en ne rentrant que ce soir.

En mettant au carré les deux côtés membres de l'égalité, j'aboutis au premier abord à une expression que je n'ai pas le temps de transcrire, mais qui ne me semble pas aisée.

Please, dans un premier temps, je n'ai fondamentalement pas besoin de retrouver les coordonnées par moi-même.

Pouvez-vous simplement m'indiquer les coordonnées des foyers ? (Comme cela, je saurai mieux comment y aboutir.)
Je ferai alors vérifier que la courbe $y = \dfrac a x$ correspond bien à la définition bifocale.

Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Please, dans un premier temps, je n'ai fondamentalement pas besoin de retrouver les coordonnées par moi-même.

Je ne veux pas te gâcher ce plaisir. Tu vas voir, tout s'arrange merveilleusement.

Dernière modification par Michel Coste (14-02-2024 14:49:01)

Rescassol

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonjour,

Edit: Bon, il paraîtrait que je n'ai pas droit à la parole .............

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (14-02-2024 19:30:41)

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Pourquoi ne laisses-tu pas Borassus se débrouiller ? Tu penses qu'il en est incapable ?

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonjour tout le monde, Bonjour Michel,

Merci pour ta bonne appréciation, Michel !  :-)

Là, je pars en cours et reviendrai vers midi. Ensuite j'ai un rendez-vous notarial.
Mais je pressens une voie élégante et simple, que je n'ai pas le temps de développer à l'instant...

Suite au prochain numéro.

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

@Borassus : prends le temps de te poser, et je n'ai pas de doute que tu y arriveras.
@Rescassol : n'en fais tu pas un peu trop ? Personne ne doute que tu sais finir le calcul. Quel intérêt de le faire à la place de Borassus ?

Bernard-maths

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonsoir à tous !

Vivent les calculs, faut y aller cool ...

Quant à moi je propose un programme GeoGebra qui pourra montrer à qui voudra que l'équation donnée par les foyers correspond à une équation "classique y = k'/x". Des curseurs permettent de varier les courbes.

En rouge rac() - rac()=k ; en noir Val abs(rac() - rac()) = k ; en vert y =k'/x.

Les curseurs : f pour les foyers ; k pour la constante ; k' pour ajuster vert sur noir, QUAND équilatère !

Pour une courbe équilatère il faut k = 2f. Pour k' j'ai pas cherché la formule, ça se fait au coup par coup !

Le programme : https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBpqMj … -02-14.ggb

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (15-02-2024 20:42:16)

Borassus

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Bonsoir tout le monde, et en particulier Michel, Rescassol, Bernard,

Michel semble surestimer les capacités calculatoires de Borassus, et sous-estimer le côté rebelle de ce même Borassus aux calculs longs et fastidieux.  :-)
Merci, néanmoins, Michel ! Cela fait plaisir d'être autant apprécié.  (Aïe, mes chevilles ! :-)

Je me suis donc dit qu'il faut procéder autrement. (Je considère la courbe $y = \dfrac k x$, avec $k$ positif, pour pouvoir utiliser la distance entre le centre de l'hyperbole et l'un des sommets, généralement notée $a$.)

Les coordonnées des deux sommets s'obtiennent en considérant qu'ils sont les intersections de l'hyperbole avec la droite $y = x$, soit $(\sqrt{k}, \sqrt{k})$ et $(-\sqrt{k}, -\sqrt{k})$.

La distance $a$ est égale à $\sqrt{2k}$.

Dans l'article de Wikipédia consacré à l'hyperbole, j'ai vu dans la section « Relations entre les grandeurs caractéristiques d'une hyperbole » que la distance entre le centre de l'hyperbole et un de ses foyers, généralement notée $c$, est égale au produit de la distance du centre de l'hyperbole à un de ses sommets par l'excentricité : $c = ae$.

Voilà qui est très intéressant !

Comme l'hyperbole est équilatère, son excentricité est égale $\sqrt{2}$.

Donc $c = \sqrt{2k}* \sqrt{2} = 2\sqrt{k}$.

Les coordonnées des foyers sont donc celles des intersections entre le cercle de centre $O$ et de rayon $2\sqrt{k}$, et la droite $y = x$ :

$x^2 + y^2 = 4k$  avec  $y = k$,
d'où  $2x^2 = 4k$  et $x^2 = 2k$.

Les coordonnées des deux foyers sont donc : $(\sqrt{2k}, \sqrt{2k})$  et  $(-\sqrt{2k}, -\sqrt{2k})$.   Voili, voilou !  :-)

Je vérifierai par la suite, si le cœur m'en dit, la définition bifocale de l'hyperbole $y = \dfrac k x$ en utilisant les calculs déjà effectués.

Bonne fin de soirée.

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Ben oui, tu me déçois beaucoup d'avoir reculé devant l'obstacle, qui n'avait absolument rien d'insurmontable. Ça ne valait vraiment pas le coup de retenir Rescassol ! Et cerise sur le gâteau, tu t'amuses à changer les notations en appelant $k$ ce que tu avais noté $a$, alors qu'on avait jusqu'alors dans les calculs désigné par $k$ la valeur absolue de la différence entre les distances aux foyers.
On en était à
$$\left(2(x^2+y^2+2f^2)-k^2\right)^2=4\left((x^2+y^2+2f^2)^2-4f^2(x+y)^2\right)$$qui donne
$$-4k^2(x^2+y^2+2f^2)+k^4=-16f^2(x^2+y^2+2xy)\;.$$Le but est d'identifier avec $xy=a$, donc les termes en $x^2+y^2$ doivent disparaître, ce qui impose $k=2f$. On se retrouve avec
$$-16f^4=-32f^2xy\;,$$autrement dit
$$xy=\frac12 f^2\;.$$ Donc $f=\sqrt{2a}$ et $k=2\sqrt{2a}$. Tout ceci sans utiliser de connaissance sur l'excentricité de l'hyperbole équilatère ou sur la relation entre la distance entre les sommets et la distance focale.

Michel Coste

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Re : Coordonnées des foyers d'une hyperbole équilatère y = a/x

Le calcul avec foyer et directrice est encore plus simple. Le foyer est sur la droite $x=y$, de coordonnées $(f,f)$ et la directrice est orthogonale à cette droite, d'équation $x+y-d=0$. On écrit que le carré de la distance au foyer est égal à $e^2$ ($e$ est l'excentricité) fois le carré de la distance à la directrice :
$$(x-f)^2+(y-f)^2=e^2\frac{(x+y-d)^2}2$$et on identifie avec l'équation $xy=a$. Les $x^2$ et $y^2$ doivent disparaître, ce qui impose $e^2=2$, l'excentricité est $\sqrt2$. On se retrouve avec
$$-2f(x+y)+2f^2=2xy-2d(x+y)+d^2\;.$$Toujours en identifiant avec $xy=a$, le $x+y$ doit disparaître et on trouve que $d=f$. On termine avec
$$f^2=2xy\;,$$d'où $f=\pm\sqrt{2a}$.