Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Bernard, et bonjour à ceux qui viennent visiter cette passionnante discussion,

Oups ! Pardon ! Je ne t'ai pas répondu de suite car je ne saisissais pas en quoi ton programme permet de déterminer les coordonnées des foyers. Ensuite, j'ai été trop pris par la surexcitation intellectuelle générée par les calculs suggérés, puis expliqués, par Michel, et le temps a glissé.

Je comprends mieux maintenant ta démarche qui permet de visualiser les hyperboles obtenues en faisant varier les coordonnées des foyers le long de la droite $y = x$, ou en faisant varier la constante $k$.

En faisant évoluer les curseurs, je comprends :
que l'hyperbole est équilatère lorsque $k = 2f$, ce que nous avons vu lors des développements (merci, Michel !) ;
que $k$ représente la distance entre les sommets, que l'hyperbole soit équilatère ou pas.
.

Par contre, la manipulation des curseurs génère pour moi des questions :

• Pourquoi l'équation 1 fournit seulement une seule branche de l'hyperbole, alors que l'équation 2 fournit les deux branches ? (Même si je le comprends intuitivement, sans pour l'instant savoir l'expliciter.)

• Des rapports entre $f$ et $k$ font disparaître l'hyperbole. La question est donc : quels sont les rapports $f/k$ ou $k/f$ qui rendent possible l'existence de l'hyperbole ?

• Connaissant $f$ et $k$, comment déterminer l'équation d'une hyperbole non équilatère lorsque les foyers sont sur la droite $y = x$ ?

• Connaissant $f$ et $k$, comment déterminer les équations des deux asymptotes lorsque l'hyperbole n'est pas équilatère ? (J'aimerais pouvoir visualiser ces asymptotes sur le programme de Bernard.)

• Quelle peut être l'équation d'une hyperbole équilatère lorsque les foyers sont placés sur une droite $y = mx$, avec $m \ne 1$ ?

• Même question pour une hyperbole non équilatère ?

• Pourquoi,pour certains rapports $k / f$, seule l'équation 1 est visualisée ?

(Vous vous souvenez de ce que j'écrivais à propos de la curiosité ? :-)

Donc, la directrice correspondant à un foyer est tout simplement la droite joignant les points $(f , 0)$ et $(0 , f)$, ou les points $(-f , 0)$ et $(0 , -f)$.

https://www.cjoint.com/c/NBqtBmEDGID

Merci, Michel !!! J'ai vraiment le sentiment d'avoir très sensiblement progressé sur le sujet — notamment sur la technique permettant de "supprimer" les termes "en trop" —, et d'avoir de quoi faire découvrir à mes élèves !

Bonne soirée.

J'ai d'abord voulu traiter le premier calcul.

Je m'attaque maintenant au second.

Bonjour Michel,

Effectivement, j'aurais pu venir à bout du calcul par moi-même. (Pardon de te décevoir !)
Mais ne sachant véritablement quelle direction prendre, et rédigeant mes calculs sur des brouillons brouillons, de plus avec une certaine fébrilité énervée, je n'avais pas suffisamment de hauteur et de calme pour comprendre l'enchaînement des calculs à appliquer, et voir leur structure.

Pour mieux les maîtriser, je me permets de détailler ici tes calculs, dont je te remercie vivement.

J'étais arrivé à l'égalité inverse de celle de Michel (pour moi, il était naturel de placer la racine à gauche car c'est elle que je devais élever au carré) ; je continuerai donc en suivant mon écriture initiale (en revenant aux coefficients initiaux :-).

$ 2 \sqrt {(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 4f^2(x+y)^2} = 2(x^2 + y^2 + 2f^2) - k^2 $

En élevant les deux membres au carré, on obtient :
$ 4 \left[ (x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 4f^2(x+y)^2 \right] = \left[2(x^2 + y^2 + 2f^2) - k^2 \right]^2 $

En développant le membre de gauche par distributivité et le membre de droite par développement du carré de la somme de deux termes, on obtient :
$ 4(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 - 16f^2(x + y)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2f^2)^2 + k^4 - 4k^2(x^2 + y^2 + 2f^2) $

soit
$ - 16f^2(x + y)^2 = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2 + 2f^2) $

soit encore
$ -16f^2(x^2 + y^2 + 2xy) = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2) - 8k^2f^2 $
$ -16f^2(x^2 + y^2) - 32f^2xy = k^4 - 4k^2(x^2 + y^2) - 8k^2f^2 $

Comme le produit $xy$ est égal au coefficient $a$, et est donc constant, les termes en $x^2 + y^2$ des deux côtés doivent s'annuler, ce qui signifie qu'on doit avoir l'égalité
$ -16f^2(x^2 + y^2) = 4k^2(x^2 + y^2) $
ce qui entraîne que $k^2 = 4f^2$ et donc $k = 2f$

L'égalité précédente devient alors ($xy = a$)
$ -32f^2a = 16f^4 - 32f^4 $
$ -32f^2a = -16f^4$
d'où $f^2 = 2a$  et $f = \sqrt{2a}$

Les coordonnées des deux foyers sont donc $(\sqrt{2a} , \sqrt{2a})$  et $(-\sqrt{2a} , -\sqrt{2a})$
et la constante $k$ exprimant la différence des distances d'un point de l'hyperbole à ses deux foyers est égale à $2f$, soit $2 \sqrt{2a}$.

Géométriquement parlant, comme $ \sqrt{2a}$ est la distance entre le centre de l'hyperbole et un de ses sommets, pour déterminer précisément l'emplacement des foyers sur une hyperbole tracée sans aucune indication sur les axes, il suffit de tracer le cercle tangents aux sommets. Les intersections de ce cercle avec les deux axes indiquent les coordonnées des foyers.
D'autre part, la différence, en valeur absolue, des deux distances entre un point de l'hyperbole et ses deux foyers est tout simplement égale à la distances entre les deux sommets de l'hyperbole.

https://www.cjoint.com/c/NBqqmBKs0qD

Je sens que j'ai avoir plaisir à expliquer la fonction de référence $f(x) = \dfrac 1 x$, en particulier en leur montrant cette interprétation graphique !  :-)

Pour ce qui est des calculs, je vais apprendre à les maîtriser et les proposerai à des élèves de Terminale souhaitant intégrer une Prépa scientifique. (Cela leur donnera l'occasion de pratiquer le développement du carré de la somme d'un nombre quelconque de termes, et de mener jusqu'au bout un calcul long, bien au-delà de ce qui est demandé en DM.)

Ben oui, tu me déçois beaucoup d'avoir reculé devant l'obstacle, qui n'avait absolument rien d'insurmontable. Ça ne valait vraiment pas le coup de retenir Rescassol ! Et cerise sur le gâteau, tu t'amuses à changer les notations en appelant $k$ ce que tu avais noté $a$, alors qu'on avait jusqu'alors dans les calculs désigné par $k$ la valeur absolue de la différence entre les distances aux foyers.
On en était à
$$\left(2(x^2+y^2+2f^2)-k^2\right)^2=4\left((x^2+y^2+2f^2)^2-4f^2(x+y)^2\right)$$qui donne
$$-4k^2(x^2+y^2+2f^2)+k^4=-16f^2(x^2+y^2+2xy)\;.$$Le but est d'identifier avec $xy=a$, donc les termes en $x^2+y^2$ doivent disparaître, ce qui impose $k=2f$. On se retrouve avec
$$-16f^4=-32f^2xy\;,$$autrement dit
$$xy=\frac12 f^2\;.$$ Donc $f=\sqrt{2a}$ et $k=2\sqrt{2a}$. Tout ceci sans utiliser de connaissance sur l'excentricité de l'hyperbole équilatère ou sur la relation entre la distance entre les sommets et la distance focale.

Bonsoir à tous !

Vivent les calculs, faut y aller cool ...

Quant à moi je propose un programme GeoGebra qui pourra montrer à qui voudra que l'équation donnée par les foyers correspond à une équation "classique y = k'/x". Des curseurs permettent de varier les courbes.

En rouge rac() - rac()=k ; en noir Val abs(rac() - rac()) = k ; en vert y =k'/x.

Les curseurs : f pour les foyers ; k pour la constante ; k' pour ajuster vert sur noir, QUAND équilatère !

Pour une courbe équilatère il faut k = 2f. Pour k' j'ai pas cherché la formule, ça se fait au coup par coup !

Le programme : https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBpqMj … -02-14.ggb

Bernard-maths

Bonjour tout le monde, Bonjour Michel,

Merci pour ta bonne appréciation, Michel !  :-)

Là, je pars en cours et reviendrai vers midi. Ensuite j'ai un rendez-vous notarial.
Mais je pressens une voie élégante et simple, que je n'ai pas le temps de développer à l'instant...

Suite au prochain numéro.

Bonjour,

Edit: Bon, il paraîtrait que je n'ai pas droit à la parole .............

Cordialement,
Rescassol