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Gilbert57

Invité

Théorème des résidus.

Bonsoir,

Comment calcule-t-on à l'aide du théorème des résidus l’intégrale, [tex]I = \displaystyle \int_{ \mathcal{C} } \dfrac{1}{z} dz[/tex], où, [tex]\mathcal{C}[/tex] est le cercle unité du plan complexe ?

Merci d'avance.

Gilbert57

Invité

Re : Théorème des résidus.

Je sais calculer le résidu en [tex]z_0 = 0[/tex], qui est, [tex]\mathrm{Res} ( \dfrac{1}{z} , 0 ) = \displaystyle \lim_{ z \to 0 } (z-0) f(z) = 1[/tex], et donc, [tex]I = \displaystyle \int_{ \mathcal{C} } \dfrac{1}{z} dz = 2 \pi i \mathrm{Res} ( \dfrac{1}{z} , 0 ) = 2 \pi i [/tex]. Mais, je ne sais pas à quel niveau on utilise le théorème de Jordan. Pouvez vous m'expliquer ce point s'il vous plaît ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Théorème des résidus.

Bonjour,

  Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question....
Peut-être que ce qui te pose problème, c'est la justification que l'indice de $0$ par rapport au cercle est égal à $1$?
Mais en réalité, cette intégrale correspond justement à la définition de l'indice.
Pour moi d'ailleurs, ce n'est pas le théorème des résidus, c'est la formule de Cauchy pour un cercle.

F.

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : Théorème des résidus.

Bonjour,

On utilise le théorème de Jordan pour justifier le fait que, dans le cas général d'un chemin fermé, le plan privé du support de ce chemin a une seule composante connexe non bornée, on montre ensuite que l'indice du chemin est nul par rapport à tout point de cette composante connexe non bornée. Mais on n'utilise en pratique jamais le théorème de Jordan dans l'application du théorème des résidus.
Et je ne connais pas l'énoncé exact de l'exercice, mais on n'a pas besoin d'invoquer ce théorème pour faire ça, un calcul direct utilisant un paramétrage du cercle suffit largement.