Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tilda

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Ln concave

Bonjour ,

S'il vous plait , soient x,y des réels strict positifs , p,q éléments de [1,+l'infinie]
pourquoi on a ln(1/p x^p + 1/q y^q) >= 1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q)  sachant que ln est concave elle est au dessous de ses tangentes donc on doit avoir l'inégalité dans le sens inverse non ?

Merci d'avance

Black Jack

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Re : Ln concave

Bonjour,

Et si tu essayais par exemple avec x = y = p = q = 1

On aurait  : ln(1/p x^p + 1/q y^q) = ln(2) et   1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q) = 0

Donc, au moins pour cet exemple concret, on a ln(1/p x^p + 1/q y^q) >= 1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q)

Cela ne prouve pas que c'est correct quels que soient x,y des réels strictement positifs , p,q éléments de [1,+l'infinie] ... pour cela, il faut travailler un peu plus.

tilda

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Re : Ln concave

oui mais si on raisonne juste par la concavité de ln qui est au dessous des ses tangentes dans quel sens cette inégalité est vrai ?!

Roro

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Re : Ln concave

Bonjour,

Si $f$ est une fonction concave sur un intervalle I (comme un logarithme sur $]0,+\infty[$) alors on a
$$\forall \lambda \in [0,1] \quad \forall (x,y)\in I^2 \quad f(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y).$$

Si tu appliques cette formule avec $\lambda = \frac{1}{p}$ (donc $p\geq 1$) et $q$ tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, tu devrais obtenir ce que tu souhaites...

Roro.

tilda

Membre

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Re : Ln concave

oui c'est l'inégalité de Jensen
mais j'arrive pas à la voir géométriquement

Roro

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Re : Ln concave

Géométriquement, l'inégalité te dit que la courbe de ta fonction concave est toujours au dessus de la corde :

Si tu prends deux points $A(x,f(x))$ et $B(y,f(y))$ sur la courbe représentant $f$ alors la corde $[AB]$ est située sous le graphe de $f$ entre ces deux points.

Pour plus de détails, je te conseille de regarder ici

Roro.

Dernière modification par Roro (01-10-2023 19:38:19)

Michel Coste

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Re : Ln concave

Géométriquement, l'inégalité te dit que la courbe de ta fonction concave est toujours en dessous de la corde ...
la corde $[AB]$ est située est dessous du graphe de $f$ entre ces deux points.

Dessus ? Dessous ? Ça fait penser à la barbe du capitaine Haddock. ;)

Dernière modification par Michel Coste (01-10-2023 18:23:29)

Roro

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Re : Ln concave

Bonsoir,

Géométriquement, l'inégalité te dit que la courbe de ta fonction concave est toujours en dessous de la corde ...
la corde $[AB]$ est située est dessous du graphe de $f$ entre ces deux points.

Dessus ? Dessous ? Ça fait penser à la barbe du capitaine Haddock. ;)

Merci Michel pour cette remarque, je ne m'était pas relu.... j'ai modifié mon message !

Ca m'amène à faire deux remarques :
1/ il vaut mieux faire un dessin pour comprendre ce qui se passe.
2/ dessus ou dessous dépend de l'orientation ! Et sur mon bureau, ma feuille est posée à plat !

Roro.

tilda

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Re : Ln concave

Géométriquement, l'inégalité te dit que la courbe de ta fonction concave est toujours au dessus de la corde :

Si tu prends deux points $A(x,f(x))$ et $B(y,f(y))$ sur la courbe représentant $f$ alors la corde $[AB]$ est située sous le graphe de $f$ entre ces deux points.

Pour plus de détails, je te conseille de regarder ici

Roro.

Merci énormément !

jean-émile

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Re : Ln concave

Bonsoir
Et si 1/p +1/q est différent de 1 ?

Roro

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Re : Ln concave

Bonsoir,

Si $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\neq 1$ alors la concavité n'a rien à voir avec cette histoire !
On ne peut alors pas faire de lien entre $f$ concave et une éventuelle inégalité comme
$$f\Big(\frac{1}{p}x+\frac{1}{q}y\Big) \geq \frac{1}{p}f(x)+\frac{1}{q}f(y).$$

Roro.

Dernière modification par Roro (03-10-2023 22:42:01)

Fred

Administrateur

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Re : Ln concave

Bonjour,

  et d'ailleurs, si on ne met pas d'hypothèse sur $p$ et $q$, l'inégalité est fausse. Par exemple, si $p=q=1,$ l'inégalité n'est pas vérifiée si $x=y=3.$

F.