Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  et d'ailleurs, si on ne met pas d'hypothèse sur $p$ et $q$, l'inégalité est fausse. Par exemple, si $p=q=1,$ l'inégalité n'est pas vérifiée si $x=y=3.$

F.

Bonsoir
Et si 1/p +1/q est différent de 1 ?

Bonsoir,

Merci Michel pour cette remarque, je ne m'était pas relu.... j'ai modifié mon message !

Ca m'amène à faire deux remarques :
1/ il vaut mieux faire un dessin pour comprendre ce qui se passe.
2/ dessus ou dessous dépend de l'orientation ! Et sur mon bureau, ma feuille est posée à plat !

Roro.

Géométriquement, l'inégalité te dit que la courbe de ta fonction concave est toujours au dessus de la corde :

Si tu prends deux points $A(x,f(x))$ et $B(y,f(y))$ sur la courbe représentant $f$ alors la corde $[AB]$ est située sous le graphe de $f$ entre ces deux points.

Pour plus de détails, je te conseille de regarder ici

Roro.

Bonjour,

Si $f$ est une fonction concave sur un intervalle I (comme un logarithme sur $]0,+\infty[$) alors on a
$$\forall \lambda \in [0,1] \quad \forall (x,y)\in I^2 \quad f(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y).$$

Si tu appliques cette formule avec $\lambda = \frac{1}{p}$ (donc $p\geq 1$) et $q$ tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, tu devrais obtenir ce que tu souhaites...

Roro.

Bonjour,

Et si tu essayais par exemple avec x = y = p = q = 1

On aurait  : ln(1/p x^p + 1/q y^q) = ln(2) et   1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q) = 0

Donc, au moins pour cet exemple concret, on a ln(1/p x^p + 1/q y^q) >= 1/p ln(x^p) + 1/q ln(y^q)

Cela ne prouve pas que c'est correct quels que soient x,y des réels strictement positifs , p,q éléments de [1,+l'infinie] ... pour cela, il faut travailler un peu plus.